Corso di Meccanica: 2 Cinematica Moto uniformemente accelerato

Moto Uniformemente Accelerato

Il moto uniformemente accelerato è il moto rettilineo in cui l'accelerazione è costante nel tempo. Questo implica che la velocità varia linearmente con il tempo e che lo spazio percorso cresce con una legge quadratica nel tempo. È il modello ideale per descrivere fenomeni come la caduta libera (trascurando resistenze), l'accelerazione e la decelerazione di veicoli con accelerazione costante.

Equazioni fondamentali

Legge oraria: \(x(t)=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\)
Velocità nel tempo: \(v(t)=v_0+at\)
Relazione senza tempo: \(v^2=v_0^2+2ad\)

con: v velocità istantanea, v₀ velocità iniziale, a accelerazione costante, t tempo, x posizione, x₀ posizione iniziale e d distanza percorsa.

1) Significato fisico e derivazione

Se l'accelerazione è costante \(a(t)=a\), allora per definizione:

\(a=\dfrac{dv}{dt}\)

Integrando otteniamo:

\(v(t)=v_0 + \int_0^t a \, dt = v_0 + at\)

La posizione si ottiene integrando la velocità:

\(x(t)=x_0 + \int_0^t v(\tau)\,d\tau = x_0 + \int_0^t (v_0 + a\tau)\,d\tau = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2\)

La relazione \(v^2 = v_0^2 + 2ad\) si ottiene eliminando il tempo.

2) Riepilogo formule

Legge oraria: \(x(t)=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\)

Velocità nel tempo: \(v(t)=v_0+at\)

Relazione senza tempo: \(v^2=v_0^2+2ad\)

Inversioni utili: \(t=\dfrac{v-v_0}{a}\), \(a=\dfrac{v-v_0}{t}\), \(d=\dfrac{v^2-v_0^2}{2a}\)

3) Esempi svolti dettagliati

Esempio A — Auto che accelera da fermo

Dati: \(v_0=0\), \(a=2\ \mathrm{m/s^2}\), \(t=6\ \mathrm{s}\)

Velocità finale: \(v=v_0+at=0+2\cdot6=12\ \mathrm{m/s}\)

Distanza percorsa: \(d=v_0 t + \frac12 a t^2 = 0 + \frac12 \cdot 2 \cdot 6^2 = 36\ \mathrm{m}\)

Esempio B — Lancio verticale verso l'alto

Dati: \(v_0=20\ \mathrm{m/s}\) verso l'alto; accelerazione gravitazionale \(a=-g=-9.81\ \mathrm{m/s^2}\)

Altezza massima: \(0 = v_0^2 + 2(-g)h \Rightarrow h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \cdot 9.81} \approx 20.39\ \mathrm{m}\)

Tempo per raggiungere l'apice: \(t_{\text{apice}} = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0-20}{-9.81} \approx 2.039\ \mathrm{s}\)

Esempio C — Frenata uniforme

Dati: auto con \(v_0=30\ \mathrm{m/s}\), frenata \(a=-3\ \mathrm{m/s^2}\)

Distanza di arresto: \(0 = 30^2 + 2(-3)d \Rightarrow d = \frac{30^2}{2\cdot3} = 150\ \mathrm{m}\)

4) Esercizi proposti con soluzioni

Esercizio 1: Un'auto parte da fermo e raggiunge 100 km/h in 8 s.

Soluzione:

Velocità in m/s: \(v = \frac{100}{3.6} \approx 27.78\ \mathrm{m/s}\)

Accelerazione: \(a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{27.78 - 0}{8} \approx 3.472\ \mathrm{m/s^2}\)

Distanza percorsa: \(d = v_0 t + \frac12 a t^2 \approx 111.11\ \mathrm{m}\)

Esercizio 2: Un oggetto cade da 45 m.

Soluzione:

Tempo di caduta: \(t = \sqrt{\frac{2d}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot45}{9.81}} \approx 3.029\ \mathrm{s}\)

Velocità all'impatto: \(v = g t \approx 29.71\ \mathrm{m/s}\)

Esercizio 3: Ciclista parte con \(v_0=20\ \mathrm{m/s}\), accelera a \(a=1.5\ \mathrm{m/s^2}\) per 10 s.

Soluzione:

Velocità finale: \(v = v_0 + a t = 20 + 1.5\cdot10 = 35\ \mathrm{m/s}\)

Distanza percorsa: \(d = v_0 t + \frac12 a t^2 = 275\ \mathrm{m}\)

5) Problemi avanzati

Problema: sasso lanciato verso l'alto con \(v_0=15\ \mathrm{m/s}\)

Tempo per apice: \(t_1 = \frac{v_0}{g} \approx 1.529\ \mathrm{s}\)

Altezza massima: \(h = \frac{v_0^2}{2g} \approx 11.47\ \mathrm{m}\)

Tempo totale di volo: \(T = 2 t_1 \approx 3.058\ \mathrm{s}\)

6) Errori comuni e consigli pratici

• Ricordare sempre la convenzione dei segni.
• Effettuare il controllo dimensionale dopo ogni calcolo.
• Convertire sempre le unità in SI (m, s).
• Distinguere tra velocità istantanea e media.

7) Riepilogo

Moto uniformemente accelerato: \(a = \mathrm{costante}\)

Formule base: \(v=v_0+at\), \(x=x_0+v_0 t + \tfrac12 a t^2\), \(v^2 = v_0^2 + 2ad\)

Controllare unità e coerenza dei segni sempre.