Corso di Meccanica: Dinamica Gravità e Peso

Gravità e Peso

Spiegazione della forza di gravità come una forza di attrazione tra due oggetti con massa.

Definizione del peso come la forza di gravità esercitata su un oggetto con massa.

Calcolo del peso utilizzando la formula:

P = m g, dove P è il peso, m è la massa e g è l'accelerazione dovuta alla gravità.

---

1. Forza di gravità

La forza di gravità è descritta dalla Legge di Gravitazione Universale di Newton:

\[ F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

Dove:

• \(F_g\) = forza di gravità (N)
• \(G = 6.674 \cdot 10^{-11} \, \mathrm{Nm^2/kg^2}\)
• \(m_1, m_2\) = masse dei due corpi (kg)
• \(r\) = distanza tra i centri dei due corpi (m)

Esempio: Calcolare la forza di gravità tra la Terra (\(M_T = 5.97\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}\)) e un oggetto di massa \(m=10\,\mathrm{kg}\) a livello del suolo (\(r=R_T=6.371\cdot10^6\,\mathrm{m}\)):

\[ F_g = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{(5.97 \cdot 10^{24}) \cdot 10}{(6.371 \cdot 10^6)^2} \approx 98.1\,\mathrm{N} \]

---

2. Peso

Il peso è la forza con cui la Terra attrae un oggetto:

\[ P = m g \]

• \(P\) = peso (N)
• \(m\) = massa dell’oggetto (kg)
• \(g \approx 9.81 \, \mathrm{m/s^2}\)

Esempio 1: Peso di un corpo di 50 kg sulla Terra:

\[ P = 50 \cdot 9.81 = 490.5\,\mathrm{N} \]

Esempio 2: Peso dello stesso corpo sulla Luna (\(g_\text{Luna} = 1.62\,\mathrm{m/s^2}\)):

\[ P = 50 \cdot 1.62 = 81\,\mathrm{N} \]

---

3. Caratteristiche della forza peso

• Agisce sempre verso il centro della Terra.
• Dipende dalla massa dell’oggetto e dalla posizione sulla Terra.
• È una forza vettoriale con modulo, direzione e verso.

---

4. Peso su un piano inclinato

Se un oggetto è su un piano inclinato, la forza peso si scompone in:

• Perpendicolare al piano: \(P_\perp = P \cos\theta = m g \cos\theta\)
• Parallela al piano: \(P_\parallel = P \sin\theta = m g \sin\theta\)

Esempio: Corpo di massa \(m=20\,\mathrm{kg}\) su un piano inclinato di \(\theta=30^\circ\):

\[ P = m g = 20 \cdot 9.81 = 196.2\,\mathrm{N} \]

\[ P_\parallel = 196.2 \cdot \sin 30^\circ = 98.1\,\mathrm{N} \]

\[ P_\perp = 196.2 \cdot \cos 30^\circ = 169.8\,\mathrm{N} \]

---

5. Esercizi svolti

Esercizio 1: Astronauta di 70 kg a 400 km dalla superficie terrestre:

\[ g_\text{orbita} = g \left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2 \]

\[ g_\text{orbita} = 9.81 \left(\frac{6.371\cdot10^6}{6.371\cdot10^6 + 4\cdot10^5}\right)^2 \approx 8.69\,\mathrm{m/s^2} \]

\[ P = 70 \cdot 8.69 \approx 608.3\,\mathrm{N} \]

Esercizio 2: Blocco di 5 kg su piano inclinato 45°, senza attrito:

\[ P_\parallel = m g \sin \theta = 5 \cdot 9.81 \cdot \sin 45^\circ \approx 34.65\,\mathrm{N} \]

Esercizio 3: Con attrito \(\mu = 0.2\):

\[ F_\text{attrito} = \mu P_\perp = 0.2 \cdot 5 \cdot 9.81 \cdot \cos 45^\circ \approx 6.93\,\mathrm{N} \]

\[ F_\text{netta} = P_\parallel - F_\text{attrito} = 34.65 - 6.93 \approx 27.72\,\mathrm{N} \]

---

6. Accelerazione di gravità su altri pianeti

\[ g = G \frac{M}{R^2} \]

Esempio: Peso di un corpo di 60 kg su Marte:

\[ g_\text{Marte} = 6.674\cdot10^{-11} \frac{6.42\cdot10^{23}}{(3.39\cdot10^6)^2} \approx 3.71\,\mathrm{m/s^2} \]

\[ P = 60 \cdot 3.71 \approx 222.6\,\mathrm{N} \]

---

7. Confronto tra peso e massa

• Massa (m): quantità di materia, costante ovunque, unità kg.
• Peso (P): forza di gravità, varia in base al corpo celeste, unità N.

Esempio: Corpo di 80 kg:

• Sulla Terra: \( P = 80 \cdot 9.81 \approx 784.8\,\mathrm{N} \)
• Sulla Luna: \( P = 80 \cdot 1.62 \approx 129.6\,\mathrm{N} \)
• Su Giove: \( P \approx 1983.2\,\mathrm{N} \)

---

8. Forze risultanti e equilibrio

\[ \vec{F}_\text{ris} = \sum_i \vec{F}_i \]

Se \(\vec{F}_\text{ris} = 0\), il corpo è in equilibrio.

---

9. Esercizi avanzati

Esercizio 4: Ascensore in caduta libera (massa 70 kg):

\[ F_\text{peso} = 70 \cdot 9.81 \approx 686.7\,\mathrm{N} \]

\[ F_\text{app} = P - m a = 686.7 - 70 \cdot 9.81 = 0\,\mathrm{N} \]

Esercizio 5: Scivolo con attrito variabile:

\[ P_\parallel = 10 \cdot 9.81 \cdot \sin 30^\circ = 49.05\,\mathrm{N} \]

\[ P_\perp = 10 \cdot 9.81 \cdot \cos 30^\circ \approx 84.97\,\mathrm{N} \]

\[ F_\text{attrito} = 0.3 \cdot 84.97 \approx 25.49\,\mathrm{N} \]

\[ F_\text{netta} = 49.05 - 25.49 \approx 23.56\,\mathrm{N} \]

---

📌 Riepilogo formule principali

Grandezza	Formula	Unità
Forza di gravità	\[ F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]	N
Peso	\[ P = m g \]	N
Componente parallela su piano inclinato	\[ P_\parallel = m g \sin \theta \]	N
Componente perpendicolare su piano inclinato	\[ P_\perp = m g \cos \theta \]	N
Forza d’attrito	\[ F_\text{attrito} = \mu P_\perp \]	N