Corso di Elettromagnetismo: 6 – Equazioni di Maxwell

6 – Equazioni di Maxwell

Equazioni fondamentali e loro significato

Le quattro equazioni di Maxwell (in forma differenziale, nel Sistema SI) sono:

Gauss per l’elettricità
∇·E = ρ / ε0
(la divergenza del campo elettrico E in un punto è pari alla densità di carica libera ρ divisa per la costante di permittività del vuoto ε0)
Gauss per il magnetismo
∇·B = 0
(non esistono monopoli magnetici: il flusso magnetico che entra in un volume è uguale a quello che ne esce)
Faraday (legge di induzione)
∇×E = − ∂B / ∂t
(un campo magnetico variabile nel tempo induce un campo elettrico circolante)
Ampère–Maxwell
∇×B = μ0 J + μ0 ε0 ∂E / ∂t
(la circuitazione del campo magnetico B è generata dalla corrente di conduzione J e dalla corrente di spostamento μ0 ε0 ∂E/∂t)

Qui ε0 ≈ 8.854187817·10^−12 F/m è la permittività del vuoto, μ0 = 4π·10^−7 H/m la permeabilità del vuoto, J è la densità di corrente. Le equazioni hanno equivalenti integrali (forme “fondamentali”):

Gauss (elettricità, integrale): ∮_S E·dA = Q_enclosed / ε0
Gauss (magnetismo, integrale): ∮_S B·dA = 0
Faraday (integrale): ∮_C E·dl = − d/dt ∫_S B·dA (la linea chiusa C delimita la superficie S)
Ampère–Maxwell (integrale): ∮_C B·dl = μ0 ∫_S J·dA + μ0 ε0 d/dt ∫_S E·dA

Interpretazione fisica sintetica

Gauss (elettricità): cariche elettriche sono sorgenti (o pozzi) del campo E.
Gauss (magnetismo): non esistono sorgenti isolate per B; le linee di B sono sempre chiuse.
Faraday: variazioni di B producono forza elettromotrice elettrica (principio di generatori e trasformatori).
Ampère–Maxwell: correnti e variazioni di E producono B; il termine di “corrente di spostamento” μ0 ε0 ∂E/∂t è fondamentale per la coerenza con la conservazione della carica e per la propagazione delle onde elettromagnetiche.

Continuità e corrente di spostamento

Prendendo la divergenza dell’equazione di Ampère–Maxwell si ottiene una importante relazione di coerenza. Divergenza del rotore è zero (∇·(∇×B) = 0), quindi:

0 = μ0 ∇·J + μ0 ε0 ∂/∂t (∇·E)

ma da Gauss, ∇·E = ρ / ε0, quindi:

0 = μ0 ∇·J + μ0 ∂ρ / ∂t → ∂ρ/∂t + ∇·J = 0

Questa è l’equazione di continuità (conservazione della carica): la variazione locale di carica è bilanciata dal flusso di corrente uscente.

La presenza del termine μ0 ε0 ∂E/∂t (corrente di spostamento) è quindi necessaria per mantenere la coerenza con la conservazione della carica e per consentire l’esistenza delle onde elettromagnetiche nel vuoto.

Derivazione dell’equazione d’onda per E e B (vuoto)

Partendo da Faraday e Ampère–Maxwell, si può ottenere l’equazione d’onda per E e per B. In vuoto (ρ = 0 e J = 0) si procede così:

Fare il rotore a entrambi i membri di Faraday:
∇×(∇×E) = − ∂/∂t (∇×B)
Sostituire ∇×B dalla legge di Ampère–Maxwell (J = 0):
∇×(∇×E) = − μ0 ε0 ∂^2 E / ∂t^2
Usare l’identità vettoriale:
∇×(∇×E) = ∇(∇·E) − ∇^2 E

In vuoto ∇·E = 0, quindi:
− ∇^2 E = − μ0 ε0 ∂^2 E / ∂t^2

Da cui:
∇^2 E = μ0 ε0 ∂^2 E / ∂t^2

Analogamente si ottiene per B:
∇^2 B = μ0 ε0 ∂^2 B / ∂t^2

Queste sono equazioni d’onda con velocità v = 1 / sqrt(μ0 ε0). Nel vuoto questa velocità è la velocità della luce c.

Calcolo numerico della velocità della luce

μ0 = 4π·10^−7 H/m
ε0 ≈ 8.854187817·10^−12 F/m
c = 1 / sqrt(μ0 ε0) ≈ 299 792 458 m/s (valore numerico noto esattamente dalla definizione del metro).

Soluzioni di piano e relazione E–B

Una soluzione semplice è un’onda piana che si propaga nella direzione k̂:

E(r,t) = E0 · cos(k·r − ω t) (o la forma complessa E0 e^{i (k·r − ω t)})
B(r,t) = B0 · cos(k·r − ω t + φ)

Per onde piane nel vuoto, E, B e la direzione di propagazione k̂ sono mutuamente ortogonali, e il legame tra ampiezze è:

B0 = (1 / c) k̂ × E0 ⇒ |B0| = |E0| / c

La relazione di dispersione è ω = c k, dove k = |k|. Il campo magnetico è quindi B = (1/c) k̂ × E.

Impedenza dell’onda e vettore di Poynting

Per un’onda piana nel vuoto si definisce l’impedenza caratteristica (impedenza dell’onda):
Z0 = sqrt(μ0 / ε0) ≈ 376.73 Ω

La densità di energia elettromagnetica (energia per unità di volume) è:
u = (1/2) ε0 E^2 + (1/2) (B^2 / μ0)
Per un’onda piana in vuoto, usando B = E / c, si ottiene che le due parti sono uguali e:
u_total = ε0 E^2 (da notare: alcuni testi riportano u = ε0 E^2 ; altri u = 1/2 ε0 E^2 + 1/2 B^2/μ0 — le due forme coincidono numericamente per onde piane perché B^2/μ0 = ε0 E^2)

Il vettore di Poynting S definisce il flusso di potenza (densità di potenza, W/m²):
S = E × H (H = B / μ)
In vuoto H = B / μ0, quindi S = (1/μ0) E × B. Per un’onda piana si trova:
|S| = E^2 / Z0

Esempio numerico: E = 1 V/m

Energia per unità di volume: u = ε0 E^2 ≈ 8.854187817·10^−12 J/m³ (molto piccola)
Flusso di potenza S = E^2 / Z0 ≈ 1 / 376.73 ≈ 2.654·10^−3 W/m²

Esempio numerico: E = 100 V/m

u = ε0 (100)^2 = 8.854187817·10^−8 J/m³
S = 100^2 / 376.73 ≈ 26.544 W/m²
Pressione di radiazione su un assorbitore perfetto p = S / c ≈ 26.544 / 2.9979·10^8 ≈ 8.85·10^−8 N/m² (molto piccola).

Energia e teorema di Poynting (conservazione dell’energia elettromagnetica)

Poynting theorem (forma locale):

∂u/∂t + ∇·S = − E·J

u = (1/2) ε E^2 + (1/2) B^2 / μ è la densità di energia elettromagnetica
S = E × H è il vettore di flusso di energia
E·J è la potenza per unità di volume ceduta dal campo alle cariche (perdite ohmiche, lavoro fatto sulle cariche)

Interpretazione: la variazione locale di energia elettromagnetica più il flusso uscente attraverso la superficie è uguale all’energia ceduta alle cariche.

Onde elettromagnetiche nei mezzi materiali: costitutive e dispersione

Nei mezzi materiali si introducono le relazioni costitutive generali (nel caso lineare, isotropo, omogeneo):

D = ε E = ε0 εr E (D = vettore flusso elettrico)
B = μ H = μ0 μr H (B = flusso magnetico)
J = σ E (legge di Ohm locale; σ è la conduttività)

Inserendo queste relazioni nelle equazioni di Maxwell si ottengono equazioni d’onda con costanti dipendenti da ε e μ. Nel caso di un mezzo conduttore il termine di conduzione introduce attenuazione: il numero d’onda diventa complesso.

Per un mezzo con ε, μ e σ uniformi, la forma della soluzione armonica (e^{−i ω t}) porta a un numero d’onda k complesso:
k = ω √(μ ε) √(1 + i σ/(ω ε))

Si può scrivere k = β + i α dove:

β è la costante di fase (determina la lunghezza d’onda),
α è la costante di attenuazione (attenuazione e^{−α z}).

Buon conduttore (σ >> ω ε): si definisce la profondità di penetrazione (skin depth)
δ = sqrt(2 / (ω μ σ))
È la profondità alla quale l’ampiezza del campo è ridotta a 1/e.

Esempi numerici (rame, σ ≈ 5.8·10^7 S/m, μ ≈ μ0):

A 60 Hz: ω = 2π·60 ≈ 377 rad/s
δ ≈ sqrt(2 / (ω μ0 σ)) ≈ 8.53·10^−3 m ≈ 8.53 mm
A 1 GHz: ω = 2π·10^9 ≈ 6.283·10^9 rad/s
δ ≈ 2.09·10^−6 m ≈ 2.09 μm

Quindi a bassa frequenza le correnti penetrano qualche millimetro; a microonde la corrente è confinata in pochi micron vicino alla superficie.

Impedenza e riflessione ad interfaccia

Per mezzi dielettrici non magnetici (μ ≈ μ0), l’impedenza caratteristica di un mezzo è:
Z = sqrt(μ / ε) ≈ Z0 / √εr

Per incidenza normale di un’onda da mezzo 1 verso mezzo 2 (impedenze Z1, Z2), il coefficiente di riflessione complesso è:
Γ = (Z2 − Z1) / (Z2 + Z1)
e la riflettanza R (frazione di potenza riflessa) è |Γ|^2.

Esempio numerico: aria (n1 ≈ 1) → vetro (n2 ≈ 1.5). Impedenze: Z1 = Z0/1, Z2 = Z0/1.5.

Z0 ≈ 376.73 Ω,
Z2 ≈ 376.73 / 1.5 ≈ 251.15 Ω,
Γ = (251.15 − 376.73)/(251.15 + 376.73) ≈ −0.2,
R = Γ^2 ≈ 0.04 → 4% della potenza viene riflessa a normale incidenza. (Questo spiega la debole riflessione sulle superfici di vetro lucide.)

Condizioni al contorno sulle interfacce

Considerando una superficie con unit normal n̂, dalle equazioni di Maxwell si ricavano le condizioni limite:

Componente normale di D: D_2⊥ − D_1⊥ = σ_s (densità di carica superficiale)
Componente normale di B: B_2⊥ − B_1⊥ = 0 (continuità del flusso magnetico normale)
Componente tangenziale di E: E_2∥ − E_1∥ = 0 (continuità del campo elettrico tangenziale in assenza di variazioni di B attraverso superficie infinitesima)
Componente tangenziale di H: n̂ × (H_2 − H_1) = J_s (corrente superficiale presente)

Queste condizioni sono fondamentali per risolvere problemi di riflessione, trasmissione, guide d’onda e antenne.

Polarizzazione, fase e velocità

Polarizzazione: direzione e relazione di fase tra le componenti del campo E determina polarizzazione lineare, circolare o ellittica.
Velocità di fase: v_p = ω / β (β è costante di fase).
Velocità di gruppo: v_g = dω / dβ (limite sulla velocità dell’informazione). In vuoto v_p = v_g = c; in mezzi dispersivi v_p ≠ v_g.

Onde nel vuoto e nei mezzi: esempi applicativi

Esempio: calcolo della velocità della luce
c = 1 / sqrt(μ0 ε0) ≈ 299 792 458 m/s
Esempio: impedenza del vuoto
Z0 = sqrt(μ0 / ε0) ≈ 376.73 Ω
Esempio: densità d’energia e Poynting per E = 100 V/m
- u = ε0 E^2 ≈ 8.85·10^−8 J/m³
- S = E^2 / Z0 ≈ 26.54 W/m²
- pressione di radiazione su assorbitore p = S / c ≈ 8.85·10^−8 N/m²
Esempio: skin depth rame (già calcolato)
- a 60 Hz: δ ≈ 8.53 mm
- a 1 GHz: δ ≈ 2.09 μm
Esempio: potenza trasmessa da un’antenna che irradia su area A
Se l’onda incidente ha densità di potenza S (W/m²), la potenza incisa su area A è P = S · A; usare S = E^2 / Z per ottenere P.

Onde guidate, cavità e proprietà di confinamento (cenni)

In strutture con conduttori (guide d’onda, linee coassiali, cavità risonanti) le condizioni alle pareti e la geometria impongono modi discreti e dispersione. Ad esempio:

In una guida rettangolare i modi TE_mn e TM_mn hanno frequenze di taglio fc_(mn) determinate dalle dimensioni della guida. Sotto la frequenza di taglio i modi non si propagano (onde evanescenti).
Le guide possono supportare modalità con energia confinata e porte richieste per antenne, microonde e acceleratori.

Impiego pratico delle equazioni di Maxwell

Progetto di antenne: pattern di radiazione, impedenza d’ingresso e guadagno.
Trasformatori e motori: applicazioni di Faraday e campo magnetico variabile.
Microradio e microonde: propagazione, dispersione, progetto guide e cavità.
Ottica: dalle equazioni di Maxwell nelle approssimazioni di campo vicino e lontano si ricavano leggi di riflessione, rifrazione (legge di Snell) e polarizzazione.
Telecomunicazioni: spettro, modulazione e propagazione su canali che spesso richiedono conoscenza della costante di attenuazione e della velocità di gruppo.

Note matematiche e pratiche per l’uso

Le equazioni di Maxwell sono linearmente superponibili: la sovrapposizione di soluzioni è ancora soluzione (principio di sovrapposizione).
La scelta delle unità SI e delle costanti ε0, μ0 rende le formule dirette e le consente di collegarsi a misure sperimentali.
Nei calcoli pratici bisogna spesso introdurre permittività e permeabilità complesse per descrivere perdite dissipative e isteresi nei materiali.

Conclusione sintetica

Le equazioni di Maxwell costituiscono il quadro unificato dell’elettromagnetismo: collegano cariche e correnti ai campi E e B, spiegano fenomeni macroscopici (forze, energia, onde) e forniscono i metodi per progettare dispositivi che sfruttano campi elettrici e magnetici. Le onde elettromagnetiche, ottenute dalle equazioni in assenza di sorgenti, sono le soluzioni che descrivono la luce e le onde radio: la loro comprensione richiede sia la conoscenza formale delle equazioni sia la pratica degli effetti di interfaccia, dispersione e dissipazione.

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