Corso di Matematica: Unità 3 – Insiemi Relazioni e Funzioni
📘 Unità 3 – Insiemi, Relazioni e Funzioni
Obiettivi della lezione:
- Capire cos'è un insieme e come si rappresenta
- Imparare a lavorare con unioni, intersezioni e differenze tra insiemi
- Comprendere cosa sono le relazioni tra elementi di un insieme
- Definire una funzione e visualizzarla in modo intuitivo
📌 1. Cosa sono gli insiemi?
Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti, chiamati elementi. Ad esempio, l’insieme delle vocali italiane può essere scritto così:
{a, e, i, o, u}
Se un elemento appartiene a un insieme, usiamo il simbolo ∈, altrimenti ∉.
Esempi:
a ∈ {a, e, i, o, u}z ∉ {a, e, i, o, u}
📌 2. Tipi di insiemi
- Sottoinsieme: A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche in B. Si scrive: A ⊆ B
- Insiemi numerici:
- ℕ = {0,1,2,3,…} → numeri naturali
- ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} → interi
- ℚ = {frazioni} → razionali
- ℝ = {numeri reali}
📌 3. Operazioni tra insiemi
Le principali operazioni tra insiemi sono:
- Unione ( ∪ ): tutti gli elementi di A o di B
- Intersezione ( ∩ ): solo gli elementi comuni
- Differenza ( \ ): gli elementi di A che non sono in B
- Complementare: tutti gli elementi che non appartengono a un insieme, rispetto a un insieme universo
Esempio pratico:
A = {1,2,3,4}
B = {3,4,5,6}
A ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
A ∩ B = {3,4}
A \ B = {1,2}
📌 4. Relazioni
Una relazione è una regola che collega due elementi. Esempi: “è più grande di”, “è il padre di”. Una relazione può avere proprietà importanti:
- Riflessiva: ogni elemento è in relazione con sé stesso
- Simmetrica: se A è in relazione con B, allora B lo è con A
- Transitiva: se A → B e B → C, allora A → C
Esempio pratico: la relazione "ha la stessa età di" è riflessiva, simmetrica e transitiva.
📌 5. Funzioni
Una funzione collega ogni elemento di un insieme A (detto dominio) a uno e un solo elemento di un altro insieme B (detto codominio).
Si scrive: f: A → B
Esempio: f(x) = x + 2 è una funzione dal dominio ℝ al codominio ℝ.
Link immagine: Macchina delle funzioni
🧪 Attività pratiche
- Disegna i diagrammi di Venn per rappresentare unioni e intersezioni
- Crea tu stesso una funzione: ad esempio, età → anni mancanti alla pensione
- Costruisci relazioni reali e verifica se sono riflessive, simmetriche, transitive
✅ Test finale di autovalutazione
- Cosa significa A ∈ B?
- Scrivi un esempio di sottoinsieme
- Qual è la differenza tra A ∪ B e A ∩ B?
- La relazione “è fratello di” è simmetrica?
- Definisci una funzione reale e indica dominio e codominio
Per passare all’unità successiva, verifica di saper rispondere correttamente a queste domande. Puoi anche stampare le tue risposte o discuterle con un tutor.
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