PER UNA GAIA SCIENZA

15. Strumenti avanzati per la fisica moderna 📘 Spazi di Hilbert e operatori lineari Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale complesso dotato di prodotto interno e completo rispetto alla norma indotta. È lo scenario matematico naturale della meccanica quantistica . Un vettore di stato quantico è rappresentato da un elemento |ψ⟩ appartenente allo spazio di Hilbert. Il prodotto interno ⟨φ|ψ⟩ definisce le probabilità di transizione tra stati. P = |⟨φ|ψ⟩|² ⚙️ Autovalori e autofunzioni di un operatore Un operatore lineare  agisce sui vettori dello spazio di Hilbert. Se esiste un vettore |ψ⟩ tale che:  |ψ⟩ = a |ψ⟩ allora |ψ⟩ è un'autofunzione (o autovettore) e a è l’autovalore. Gli operatori rappresentano osservabili (energia, impulso, posizione) e gli autovalori corrispondono ai risultati misurabili. Esempio: per un oscillatore armonico quantistico i livelli energetici discreti sono: E n = ħω (n + 1/2),    n = 0,1,2,... 📝 Nota...

14. Elementi di calcolo numerico Obiettivo didattico: introdurre i principali metodi numerici per l’approssimazione, la soluzione di equazioni e sistemi lineari/non lineari, la integrazione numerica di ODE/PDE e mostrare applicazioni fisiche rilevanti (fluidodinamica, termodinamica, dinamica molecolare, calcolo orbitale). 1. Concetti fondamentali: errore, ordine, stabilità Errore assoluto: se x x è il valore esatto e x ~ \tilde x la stima, l’errore assoluto è e a = ∣ x − x ~ ∣ e_a = |x-\tilde x| . Errore relativo: e r = ∣ x − x ~ ∣ ∣ x ∣ e_r = \dfrac{|x-\tilde x|}{|x|} (se x ≠ 0 x\neq0 ). Ordine di un metodo: un metodo ha errore locale proporzionale a h p + 1 h^{p+1} e errore globale proporzionale a h p h^p ; si dice che è di ordine p p . Stabilità numerica: riguarda la propagazione degli errori (es. per integrazione temporale). Un metodo può essere condizionatamente stabile (richiede un passo h h abbastanza piccolo) o incondizionatamente stabile. Condiziona...

13. Probabilità e Statistica  1. Variabili casuali: definizioni essenziali Una variabile casuale discreta X X assume un insieme numerabile di valori x i x_i con probabilità P ( X = x i ) = p i P(X=x_i)=p_i (PMF — probability mass function ), con ∑ i p i = 1 \sum_i p_i = 1 . Una variabile casuale continua X X è descritta da una densità f X ( x ) f_X(x) (PDF — probability density function ) tale che per ogni intervallo A A : P ( X ∈ A ) = ∫ A f X ( x )   d x , f X ( x ) ≥ 0 , ∫ − ∞ ∞ f X ( x )   d x = 1. P(X \in A) = \int_A f_X(x)\,dx, \qquad f_X(x)\ge 0,\quad \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx =1. 2. Valore atteso e varianza (discrete e continue) Definizioni Valore atteso (esperanza) di X X : discreto: E [ X ] = ∑ i x i p i \displaystyle \mathbb{E}[X] = \sum_i x_i p_i . continuo: E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x   f X ( x )   d x . \displaystyle \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\, f_X(x)\,dx. Varianza: Var ⁡ ( X ) = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] = E [ X 2 ] ...