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Corso di Algebra Avanzata Teoria dei Codici e Crittografia: 3 Teoria dei Codici

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Teoria dei Codici Obiettivi Fornire i fondamenti matematici dei codici per la correzione d’errori. Mostrare come costruire codici lineari, codici ciclici e codici di Hamming. Presentare metodi pratici di codifica e decodifica (sindrome, correzione). Eseguire esercizi numerici e simulazioni a mano per comprendere i meccanismi. 1. Concetti fondamentali e notazioni Lavoriamo su vettori binari F 2 n \mathbb{F}_2^n (campo finito con due elementi: 0 , 1 0,1 ; operazioni modulo 2). Un codice C C è un sottoinsieme non vuoto di F 2 n \mathbb{F}_2^n . Un codice lineare C C di lunghezza n n e dimensione k k è un sottospazio vettoriale di F 2 n \mathbb{F}_2^n di dimensione k k ; si indica come [ n , k ] [n,k] (talvolta [ n , k , d ] [n,k,d] includendo distanza minima d d ). Peso w ( v ) w(v) di un vettore v v = numero di componenti uguali a 1. Distanza di Hamming d ( u , v ) d(u,v) = peso di u − v u-v (operazione in F 2 \mathbb{F}_2 ); per un codice ...
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Corso di Algebra Avanzata Teoria dei Codici e Crittografia: 2 Algebra Lineare Avanzata

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Algebra Lineare Avanzata Autovalori e autovettori — diagonalizzazione — matrici simmetriche, SVD, applicazioni a sistemi dinamici e crittografia. Obiettivi Fornire strumenti teorici e computazionali per: calcolare autovalori/autovettori; decidere diagonalizzabilità; usare decomp. spettrali in applicazioni (es. stabilità di sistemi lineari, compressione, crittografia). Capire i risultati chiave: teorema spettrale, forma di Jordan, SVD e loro significato pratico. 1. Autovalori e autovettori — definizione e significato Per una matrice quadrata \(A\in\mathbb{K}^{n\times n}\) (con \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\)), un numero \(\lambda\in\mathbb{K}\) è un autovalore se esiste un vettore non nullo \(v\neq 0\) tale che \(\displaystyle A v = \lambda v.\) Il vettore \(v\) è un autovettore associato a \(\lambda\). Dal punto di vista geometrico \(A\) agisce moltiplicando la direzione \(v\) solo per lo scalare \(\lambda\), senza ruotarla (a meno di f...
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Corso di Algebra Avanzata Teoria dei Codici e Crittografia: 1 Algebra Astratta Avanzata

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📘 Algebra Astratta Avanzata: Dalla Teoria alla Crittografia Benvenuti in questo modulo di approfondimento sulle strutture algebriche . L'algebra astratta non studia i numeri in quanto tali, ma le relazioni e le operazioni che definiscono un sistema. In questa lezione, passeremo dall'astrazione pura del gruppo alla concretezza dei campi utilizzati nella sicurezza digitale moderna. 1. Gruppi: L'Algebra della Simmetria Un gruppo (G, *) è un insieme dotato di un'operazione binaria che soddisfa quattro assiomi fondamentali: chiusura , associatività , esistenza dell'identità (e) e esistenza dell'inverso . Concetti Chiave da Ricordare: Ordine di un elemento: Il numero di volte che devi operare un elemento su se stesso per ottenere l'identità. Gruppi Ciclici: Gruppi interamente generati da un singolo elemento (es. le ore dell'orologio). Teorema di Lagrange: In un gruppo finito, la dimensione di ogni sottogruppo deve essere un divi...
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Corso di Probabilità Statistica e Teoria degli Errori: 5 Teoria degli Errori

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Teoria degli Errori Obiettivi: analizzare natura e propagazione degli errori nelle misurazioni, imparare a trattare incertezza e significatività dei dati. 1) Obiettivi formativi Il corso intende chiarire la differenza tra errori casuali e sistematici, introdurre le misure di incertezza (errore assoluto, errore relativo, deviazione standard, errore standard della media), presentare le regole di propagazione degli errori nelle operazioni matematiche e fornire metodi pratici per stimare l’incertezza nelle misure sperimentali. 2) Errori fondamentali: definizioni Errore assoluto : se una misura sperimentale è \(\tilde x\) e il valore vero (o riferimento) è \(x\), l’errore assoluto è \(\displaystyle \Delta x = \tilde x - x\). Errore relativo (spesso espresso in percentuale): \(\displaystyle \delta x = \frac{|\Delta x|}{|x|}\quad\text{(oppure }100\%\cdot\delta x\text{)}.\) Nel lavoro sperimentale il valore vero \(x\) è spesso sconosciut...
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