PER UNA GAIA SCIENZA

Studio di Funzione Obiettivi L’obiettivo principale dello studio di funzione è analizzare in modo sistematico il comportamento delle funzioni reali , sia dal punto di vista analitico sia grafico, per comprenderne andamento, estremi, concavità e asintoti. Questo permette di: Prevedere come si comporta la funzione al variare della variabile indipendente. Riconoscere punti critici e proprietà geometriche importanti. Applicare le funzioni a modelli reali in scienze, economia e ingegneria. Contenuti Analitici e Teorici 1. Segno della derivata prima: crescenza e decrescenza La derivata prima \( f'(x) \) indica la velocità di variazione della funzione . Se \( f'(x) > 0 \), la funzione è crescente in quell’intervallo. Se \( f'(x) < 0 \), la funzione è decrescente . I punti in cui \( f'(x) = 0 \) sono punti stazionari , potenziali massimi o minimi relativi. Esempio: Se \( f(x) = x^3 - 3x^2 \), allora: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) \] \( f...

6 Calcolo differenziale 1. Richiami e notazione Se abbiamo una funzione f: ℝ → ℝ, la derivata prima è definita come: f′(x) = lim (h → 0) [ f(x+h) – f(x) ] / h Questa formula misura la variazione istantanea della funzione in un punto, ossia la pendenza della retta tangente al grafico. 2. Derivate parziali Se invece consideriamo una funzione f: ℝⁿ → ℝ con variabili x₁, …, xₙ, la derivata parziale rispetto a xᵢ si scrive: ∂f/∂xᵢ (x) = lim (h → 0) [ f(x₁, …, xᵢ+h, …, xₙ) – f(x₁, …, xₙ) ] / h Essa misura come cambia la funzione quando si varia solo una variabile, mantenendo fisse le altre. 3. Differenziale totale Per funzioni di due variabili (n=2), il differenziale totale è: df = fₓ dx + fᵧ dy Esso rappresenta l’approssimazione lineare della variazione di f al variare di (x,y). 4. Gradiente Il gradiente di una funzione è il vettore delle derivate parziali: ∇f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y , … ) Indica la direzione di massima crescita della funzione. 5. Derivata direzionale Data u...