Corso di matematica propedeutica alla fisica: 10 – Equazioni differenziali ordinarie (ODE)
10. Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE) 1. Definizione Un’equazione differenziale ordinaria (ODE) è un’equazione che contiene una funzione incognita y(x) e una o più delle sue derivate rispetto alla variabile indipendente x. 2. Equazioni del primo ordine 🔹 Separabili Forma generale: dy/dx = g(x)·h(y) Separando le variabili: (1/h(y)) dy = g(x) dx Esempio: dy/dx = x·y Separiamo: (1/y) dy = x dx Integrando: ln|y| = (x²)/2 + C Soluzione: y(x) = C·e^(x²/2) 🔹 Lineari del primo ordine Forma: y' + P(x)·y = Q(x) Si usa il fattore integrante : μ(x) = e^(∫P(x) dx) Esempio: y' – y = e^x Fattore integrante: μ(x) = e^(–x) Riscrivendo: (y·e^(–x))' = 1 Integrando: y·e^(–x) = x + C Soluzione: y(x) = (x + C)·e^x 🔹 Equazioni esatte Forma: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Condizione di esattezza: ∂M/∂y = ∂N/∂x Esempio: (2xy) dx + (x²) dy = 0 M = 2xy, N = x² ∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x → condizione soddisfatta Funzione potenziale: F(x,y) = x²·y Soluzione: F(x,y) = C 📗 Equazioni del ...
