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Corso di Fondamenti di Matematica e Logica: 4 Logica Matematica

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Logica Matematica – Il pensiero rigoroso La logica matematica è molto più di un insieme di simboli: è il linguaggio del ragionamento corretto. Pensate alla logica come a una lente che chiarisce ogni argomento, dalla matematica all’informatica, dalla filosofia al diritto. Quando impariamo a usare la logica, diventiamo più bravi a capire se un ragionamento ha senso, se una decisione è giustificata o se una conclusione è corretta. Le proposizioni: mattoni del ragionamento In logica, il concetto fondamentale è la proposizione , ovvero una frase che può essere solo vera o falsa . Non esistono sfumature: “forse” o “non so” non rientrano nella logica formale. Esempi di proposizioni: “Il sole sorge a est” → Vero “5 è un numero pari” → Falso Esempi di frasi non proposizionali: “Chiudi la porta!” (ordine) “Forse domani pioverà” (incertezza) Riconoscere le proposizioni ci permette di analizzare e combinare informazioni in modo rigoroso. Connettivi logici: combinare le proposizioni Le prop...
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Corso di Fondamenti di Matematica e Logica: 3 Insiemi Relazioni e Funzioni

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Insiemi, Relazioni e Funzioni 🎯 Obiettivi Formativi Introdurre il linguaggio insiemistico come strumento fondamentale della matematica. Comprendere la nozione di relazione come legame tra elementi di insiemi diversi o dello stesso insieme. Introdurre il concetto di funzione come caso particolare di relazione. Saper rappresentare insiemi, relazioni e funzioni mediante simboli, linguaggi grafici e diagrammi. 📚 Contenuti ✅ 1. Insiemi Un insieme è una collezione ben definita di oggetti (detti elementi ) considerati come un tutto. Si indicano con lettere maiuscole (A, B, C…) e gli elementi con lettere minuscole. Appartenenza: Se un elemento x appartiene all’insieme A si scrive: x ∈ A ; se non appartiene: x ∉ A . Rappresentazioni : Elencazione: A = {1, 2, 3} Proprietà caratteristica: B = {x ∈ ℕ | x < 5} Sottoinsiemi: A è sottoinsieme di B ( A ⊆ B ) se ogni elemento di A è anche in B. Insiemi numerici fondamentali: ℕ (numeri naturali) ℤ (interi) ℚ (r...
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Corso di Fondamenti di Matematica e Logica: 2 Le Operazioni e le loro Proprietà

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🎯 Le Operazioni e le loro Proprietà 🔍 Operazioni base ➕ Addizione: sommare due numeri significa trovare la quantità totale. Esempio: \(3 + 5 = 8\) ➖ Sottrazione: togliere una quantità da un'altra. Esempio: \(10 - 4 = 6\) ✖ Moltiplicazione: è una somma ripetuta. Esempio: \(4 \times 3 = 12\) ➗ Divisione: ripartizione in parti uguali. Esempio: \(12 \div 4 = 3\) ⚙ Proprietà fondamentali 🔄 Commutativa: \(a + b = b + a\) e \(a \times b = b \times a\) 🔗 Associativa: \((a + b) + c = a + (b + c)\) 📦 Distributiva: \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\) ⚪ Elemento neutro: per l’addizione è \(0\), per la moltiplicazione è \(1\) 🔙 Elemento inverso: per l’addizione è \(-a\), per la moltiplicazione è \(\frac{1}{a}\) (con \(a \neq 0\)) 📈 Potenze e radici Le potenze servono per abbreviare moltiplicazioni ripetute, mentre le radici “fanno il percorso inverso” della potenza. 🔼 Potenze: \(a^n\) indica moltiplicare \(a\) per sé stesso \(n\) vol...
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Corso di Fondamenti di Matematica e Logica: 1 I Numeri e i Sistemi di Numerazione

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Diamo i Numeri Ehi, benvenuto nel Luna Park dei Numeri ! 🎡 Niente formule indigeribili all’ingresso: oggi facciamo un giro tra giostre, stand e giochi dove i numeri parlano, cambiano vestito, si travestono da lucine di computer e perfino ballano sul palco dei piani complessi. La matematica può essere ostica? Sì. Ma con la guida giusta diventa una storia da raccontare a cena. 🌱 Dalla pecora allo smartphone: viaggio negli insiemi numerici 🟢 Naturali (ℕ): il primo biglietto d’ingresso All’inizio erano 0, 1, 2, 3, … . I numeri naturali nascono quando qualcuno deve contare cose concrete: pecore, anfore, passi. Sono la contabilità della vita quotidiana : l’età, il numero civico, il contapassi che dice “oggi 7 432!”. Con i naturali impari le operazioni base : somma, sottrazione (finché non vai sotto zero), moltiplicazione (che è una somma veloce). 🎒 Esempio lampo: quanti giorni mancano alla fine del mese? Se il mese ha 30 giorni e oggi è il 18, fai 30 − 18 = 12 . Naturale, appunt...
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Corso di matematica propedeutica alla fisica: 15 – Strumenti avanzati per la fisica moderna

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15. Strumenti avanzati per la fisica moderna 📘 Spazi di Hilbert e operatori lineari Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale complesso dotato di prodotto interno e completo rispetto alla norma indotta. È lo scenario matematico naturale della meccanica quantistica . Un vettore di stato quantico è rappresentato da un elemento |ψ⟩ appartenente allo spazio di Hilbert. Il prodotto interno ⟨φ|ψ⟩ definisce le probabilità di transizione tra stati. P = |⟨φ|ψ⟩|² ⚙️ Autovalori e autofunzioni di un operatore Un operatore lineare  agisce sui vettori dello spazio di Hilbert. Se esiste un vettore |ψ⟩ tale che:  |ψ⟩ = a |ψ⟩ allora |ψ⟩ è un'autofunzione (o autovettore) e a è l’autovalore. Gli operatori rappresentano osservabili (energia, impulso, posizione) e gli autovalori corrispondono ai risultati misurabili. Esempio: per un oscillatore armonico quantistico i livelli energetici discreti sono: E n = ħω (n + 1/2),    n = 0,1,2,... 📝 Nota...
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Corso di matematica propedeutica alla fisica: 14 – Elementi di calcolo numerico

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14. Elementi di calcolo numerico Obiettivo didattico: introdurre i principali metodi numerici per l’approssimazione, la soluzione di equazioni e sistemi lineari/non lineari, la integrazione numerica di ODE/PDE e mostrare applicazioni fisiche rilevanti (fluidodinamica, termodinamica, dinamica molecolare, calcolo orbitale). 1. Concetti fondamentali: errore, ordine, stabilità Errore assoluto: se x x è il valore esatto e x ~ \tilde x la stima, l’errore assoluto è e a = ∣ x − x ~ ∣ e_a = |x-\tilde x| . Errore relativo: e r = ∣ x − x ~ ∣ ∣ x ∣ e_r = \dfrac{|x-\tilde x|}{|x|} (se x ≠ 0 x\neq0 ). Ordine di un metodo: un metodo ha errore locale proporzionale a h p + 1 h^{p+1} e errore globale proporzionale a h p h^p ; si dice che è di ordine p p . Stabilità numerica: riguarda la propagazione degli errori (es. per integrazione temporale). Un metodo può essere condizionatamente stabile (richiede un passo h h abbastanza piccolo) o incondizionatamente stabile. Condiziona...
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