PER UNA GAIA SCIENZA

11. Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDE) Introduzione rapida Una PDE è un’equazione che coinvolge una funzione u = u(x,t,...) e derivate parziali rispetto a due o più variabili indipendenti (es.: spazio e tempo). Le PDE descrivono fenomeni fisici come diffusione del calore, propagazione delle onde, e potenziali elettrostatici. 1) Classificazione (secondo ordine, lineare) Considera la PDE lineare del secondo ordine in due variabili x,y: A·u_xx + 2B·u_xy + C·u_yy + (termini di ordine inferiore) = 0 Definisci il discriminante: D = B^2 − A·C Se D < 0 → PDE ellittica (es.: equazione di Laplace). Se D = 0 → PDE parabolica (es.: equazione del calore). Se D > 0 → PDE iperbolica (es.: equazione delle onde). Nota: per PDE tempo-dipendenti usiamo convenzioni: equazione del calore (prima derivata nel tempo) è parabolica; equazione delle onde (seconda derivata nel tempo) è iperbolica. 2) Equazione di Laplace (ellittica) Forma: Δu = 0, cioè u_xx + u_y...