Corso di matematica propedeutica alla fisica: 12 – Analisi complessa
12. Analisi complessa L’analisi complessa è la branca della matematica che estende il calcolo differenziale e integrale ai numeri complessi. Questa disciplina è particolarmente potente perché le funzioni complesse, se derivabili, possiedono proprietà molto più forti rispetto a quelle reali: sono regolari, sviluppabili in serie e collegate a profonde applicazioni fisiche ed ingegneristiche. Numeri complessi e piano complesso Un numero complesso si scrive come: z = x + i y dove x è la parte reale, y la parte immaginaria, e i è l’unità immaginaria con i² = −1. Modulo: |z| = √(x² + y²) Argomento: θ = arctan(y/x) Forma trigonometrica: z = r (cos θ + i sin θ), con r = |z| Forma esponenziale: z = r e^(iθ) (formula di Eulero) Le operazioni di somma, prodotto e divisione trovano una rappresentazione geometrica naturale nel piano complesso. Funzioni olomorfe Una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) è detta olomorfa se è derivabile in senso complesso. Ciò richiede che le equ...