PER UNA GAIA SCIENZA

6 Calcolo differenziale 1. Richiami e notazione Se abbiamo una funzione f: ℝ → ℝ, la derivata prima è definita come: f′(x) = lim (h → 0) [ f(x+h) – f(x) ] / h Questa formula misura la variazione istantanea della funzione in un punto, ossia la pendenza della retta tangente al grafico. 2. Derivate parziali Se invece consideriamo una funzione f: ℝⁿ → ℝ con variabili x₁, …, xₙ, la derivata parziale rispetto a xᵢ si scrive: ∂f/∂xᵢ (x) = lim (h → 0) [ f(x₁, …, xᵢ+h, …, xₙ) – f(x₁, …, xₙ) ] / h Essa misura come cambia la funzione quando si varia solo una variabile, mantenendo fisse le altre. 3. Differenziale totale Per funzioni di due variabili (n=2), il differenziale totale è: df = fₓ dx + fᵧ dy Esso rappresenta l’approssimazione lineare della variazione di f al variare di (x,y). 4. Gradiente Il gradiente di una funzione è il vettore delle derivate parziali: ∇f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y , … ) Indica la direzione di massima crescita della funzione. 5. Derivata direzionale Data u...