PER UNA GAIA SCIENZA

Meccanica Hamiltoniana Obiettivi didattici: introdurre il formalismo hamiltoniano e collegarlo alla meccanica quantistica. La meccanica hamiltoniana studia il moto dei sistemi usando posizione q q e momento p p . Invece di descrivere il moto solo con velocità, questo formalismo usa coppie ( q , p ) (q,p) per analizzare il sistema nel tempo, facilitando lo studio di dinamiche complesse e preparando alla meccanica quantistica. 1. Trasformazione Lagrangiana → Hamiltoniana Partiamo da un Lagrangiano L ( q , q ˙ , t ) L(q,\dot q,t) . Momento coniugato: p i ≡ ∂ L ∂ q ˙ i p_i \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} Hamiltoniana (trasformata di Legendre): H ( q , p , t ) = ∑ i p i q ˙ i − L ( q , q ˙ , t ) H(q,p,t) = \sum_i p_i \dot q_i - L(q,\dot q,t) dove q ˙ i \dot q_i si risolve in funzione di p i p_i . Esempio semplice: particella 1D con massa m m e potenziale V ( q ) V(q) L = 1 2 m q ˙ 2 − V ( q ) , p = m q ˙ , H = p 2 2 m + V ( q ) L = \frac{1}{2} m \dot q^2 - V...