CORSO DI MECCANICA RAZIONALE: Meccanica Hamiltoniana

Meccanica Hamiltoniana

Obiettivi didattici: introdurre il formalismo hamiltoniano e collegarlo alla meccanica quantistica.

La meccanica hamiltoniana studia il moto dei sistemi usando posizione $q$ e momento $p$. Invece di descrivere il moto solo con velocità, questo formalismo usa coppie $(q,p)$ per analizzare il sistema nel tempo, facilitando lo studio di dinamiche complesse e preparando alla meccanica quantistica.

---

1. Trasformazione Lagrangiana → Hamiltoniana

Partiamo da un Lagrangiano $L(q,\dot q,t)$.

Momento coniugato:

$$p_i \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$$

Hamiltoniana (trasformata di Legendre):

$$H(q,p,t) = \sum_i p_i \dot q_i - L(q,\dot q,t)$$

dove $\dot q_i$ si risolve in funzione di $p_i$.

Esempio semplice: particella 1D con massa $m$ e potenziale $V(q)$

$$L = \frac{1}{2} m \dot q^2 - V(q), \quad p = m \dot q, \quad H = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$

---

2. Equazioni di Hamilton

Equazioni canoniche:

$$\boxed{\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}}$$

Poisson bracket: per una funzione $f(q,p,t)$

$$\frac{df}{dt} = \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t}, \quad \{f,g\} = \sum_i \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right)$$

In particolare:

$$\dot q_i = \{q_i,H\}, \quad \dot p_i = \{p_i,H\}$$

---

3. Trasformazioni canoniche

Una trasformazione $(q,p) \to (Q,P)$ è canonica se preserva la struttura di Poisson:

$$\omega = \sum_i dq_i \wedge dp_i$$

Con Jacobiana $M = \frac{\partial z'}{\partial z}$, la condizione è:

$$M^{\mathsf{T}} J M = J, \quad J = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix}$$

Funzioni generatrici:

$$p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i}, \quad Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}$$

---

4. Trasformazioni di Lie

Dato un generatore $G(q,p)$:

$$f \to f + \varepsilon \{f,G\} + O(\varepsilon^2), \quad \varepsilon \ll 1$$

La dinamica temporale stessa è una trasformazione di Lie generata dall’Hamiltoniana.

---

5. Teorema di Liouville

Il flusso Hamiltoniano conserva il volume nello spazio delle fasi:

$$\dot z = \begin{pmatrix} \dot q \\ \dot p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial H / \partial p \\ -\partial H / \partial q \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot \dot z = 0$$

---

6. Tensore di Poisson

Coordinate di fase: $z^i = (q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$

$$J^{ij} = \begin{cases} 0 & i,j \le n \text{ o } i,j > n \\ +\delta_{i,j-n} & i \le n, j>n \\ -\delta_{i-n,j} & i>n, j\le n \end{cases}$$

Bracket di Poisson canonico:

$$\{f,g\} = \sum_{i,j} \frac{\partial f}{\partial z^i} J^{ij} \frac{\partial g}{\partial z^j}$$

Soddisfa bilinearità, antisimmetria e identità di Jacobi:

$$\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$$

---

7. Esempi applicativi

Oscillatore armonico 1D

$$L = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - \frac{1}{2} k q^2, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Momento coniugato: $p = m \dot{q}$

Hamiltoniana: $H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k q^2$

Equazioni di Hamilton:

$$\dot{q} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -k q$$

Soluzione:

$$q(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t), \quad p(t) = m \dot{q}(t) = - m \omega A \sin(\omega t) + m \omega B \cos(\omega t)$$

---

Particella in potenziale centrale (coordinate polari)

$$p_r = m \dot{r}, \quad p_\theta = m r^2 \dot{\theta} \equiv L_z$$ $$H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2 m r^2} + V(r)$$

Poiché $p_\theta$ è costante, il moto radiale è ridotto a:

$$V_{\mathrm{eff}}(r) = \frac{p_\theta^2}{2 m r^2} + V(r)$$

---

Corpo rigido libero

$$\{ L_i, L_j \} = \varepsilon_{ijk} L_k$$ $$H = \frac{1}{2} \left( \frac{L_1^2}{I_1} + \frac{L_2^2}{I_2} + \frac{L_3^2}{I_3} \right)$$

Equazioni di moto (Euler):

$$\dot{L} = L \times \omega, \quad \omega_i = \frac{L_i}{I_i}$$ $$\dot{L}_1 = \left(\frac{1}{I_3}-\frac{1}{I_2}\right) L_2 L_3, \quad \text{ciclicamente}$$

---

8. Esercizi svolti

Esercizio 1 — Trasformata di Legendre

Lagrangiano: $L = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - V(q)$

• Momento coniugato: $p = m \dot{q}$

• Risolvo $\dot{q} = p/m$

• Hamiltoniana:

$$H = p \dot{q} - L = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$

• Equazioni di Hamilton:

$$\dot{q} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = - V'(q)$$

Esercizio 2 — Azione per oscillatore armonico 1D

• $J = \oint p \, dq = \frac{E}{\omega}$ (derivazione completa con passaggi chiave nel modulo dettagliato)

---

9. Test rapido

1. Momento coniugato: $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$

2. Trasformazione canonica: preserva il Poisson bracket

3. Teorema di Liouville: volume nello spazio delle fasi conservato

4. Oscillatore armonico 1D: $J = \frac{E}{\omega}$

5. Bracket canonico: $\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}$