Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 1 Polinomi

Polinomi: Definizioni e Operazioni

🎯 Obiettivi didattici

• Comprendere la struttura dei polinomi e il significato di monomi, grado, termini simili.
• Apprendere le operazioni fondamentali con i polinomi: somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione.
• Riconoscere e applicare i prodotti notevoli.
• Saper fattorizzare polinomi usando diversi metodi (raccoglimento, prodotti notevoli, Ruffini).
• Applicare i polinomi nella risoluzione di problemi reali e nella modellazione algebrica.

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🧩 Contenuti Teorici e Semplificazioni

📌 Cos’è un polinomio?

Un polinomio è un'espressione algebrica formata da monomi (cioè termini con numeri e lettere elevati a esponenti interi non negativi), sommati o sottratti tra loro.

✅ Esempio:

• Termini:
• Coefficiente: numeri davanti alla parte letterale (es. 3, -5)
• Grado del polinomio: massimo esponente della variabile (es. grado 2)
• Termini simili: hanno stessa parte letterale (es. )

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➕ Operazioni sui Polinomi

1. Somma e sottrazione
   Si sommano (o sottraggono) termini simili.

   ✅ Esempio:

   (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 4x + 5) = (3x^2 - x + 6)

2. Moltiplicazione

   • Monomio × Polinomio
   • Polinomio × Polinomio (distributiva)

   ✅ Esempio:

   (x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6

3. Divisione tra polinomi
   • Caso più semplice: divisione tra monomio e polinomio.
   • Caso più complesso: divisione tra polinomi interi (utilizzo di divisione sintetica o metodo di Ruffini, quando possibile).

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🎯 Prodotti Notevoli

Utili per semplificare i calcoli e per fattorizzare.

✅ Esempio:

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25

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🧱 Fattorizzazione

1. Raccoglimento (totale o parziale)
   ✅ Esempio:

   2x^2 + 4x = 2x(x + 2)

2. Prodotti notevoli (riconoscimento inverso)
   ✅ Esempio:

   x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

3. Metodo di Ruffini
   Solo se il polinomio è di grado ≥ 2 e si vuole dividere per un binomio del tipo .
   ✅ Esempio:

   P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \Rightarrow (x - 2) \text{ è uno zero} \Rightarrow P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6)

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🔬 Applicazioni nella realtà

• Modellazione quadratica: crescita, profitti, traiettorie.
• Superfici geometriche: area di un quadrato o rettangolo espresse con polinomi.
• Fisica: formule cinematiche, caduta libera.

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🧪 Attività pratiche

✍️ Esercizi guidati

Esercizio 1 – Semplificazione

(4x^2 + 3x - 2) + (-x^2 + 5x + 1)

✅ Soluzione:

(4x^2 - x^2) + (3x + 5x) + (-2 + 1) = 3x^2 + 8x - 1

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Esercizio 2 – Prodotto notevole inverso
Scomponi:

✅ Soluzione:

(3x)^2 - 4^2 = (3x - 4)(3x + 4)

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Esercizio 3 – Fattorizzazione mista
Fattorizza:

✅ Soluzione:

1. Raccoglimento:
2. Scomposizione trinomio:

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✅ Test a risposta multipla

Domanda 1:
Qual è il grado del polinomio ?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
→ Risposta corretta: C

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Domanda 2:
Semplifica .
A.
B.
C.
D.
→ Risposta corretta: C

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Domanda 3:
Quale dei seguenti è la scomposizione di ?
A.
B.
C.
D.
→ Risposta corretta: A

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💡 Approfondimenti consigliati

• Video interattivi su YouTube: "Polinomi e prodotti notevoli"
• Software interattivo: GeoGebra per visualizzare grafici di polinomi
• Libri consigliati: "Matematica per il liceo scientifico – Zanichelli", capitolo 3