Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 1 Polinomi

 

Polinomi: definizioni, operazioni, fattorizzazioni e applicazioni pratiche

I polinomi sono strumenti matematici fondamentali per descrivere, modellare e risolvere problemi concreti in geometria, fisica, economia e informatica. Comprendere i polinomi significa imparare a rappresentare quantità variabili, relazioni tra grandezze e a risolvere problemi che coinvolgono cambiamenti continui o discreti.

1. Cos’è un polinomio e perché è importante

Un polinomio è un’espressione matematica formata da somma o differenza di monomi, dove ciascun monomio ha un coefficiente numerico e una parte letterale elevata a un esponente intero non negativo.

• Monomio: è un termine come o . Qui il coefficiente è 3 o -5, le variabili sono o e , e l’esponente indica quante volte la variabile è moltiplicata per se stessa.
• Grado del monomio: somma degli esponenti delle variabili presenti in quel monomio.
  • Esempio: ha grado .
• Grado del polinomio: massimo grado tra tutti i suoi monomi.

A cosa serve?

Il grado di un polinomio ci aiuta a prevedere il comportamento della funzione corrispondente. Ad esempio, in fisica, un polinomio di secondo grado descrive una traiettoria parabolica di un oggetto in caduta libera, mentre uno di terzo grado può modellare fenomeni più complessi come accelerazioni variabili in un motore.

• Termini simili: monomi che hanno stessa parte letterale e stesso esponente.
  • Esempio: e possono essere combinati perché entrambi rappresentano la stessa quantità variabile elevata allo stesso grado.

Perché serve?

Riconoscere e combinare termini simili semplifica i calcoli e permette di ridurre informazioni complesse in forme più leggibili. Questo è essenziale, per esempio, per calcolare costi totali, aree o volumi dove più termini rappresentano la stessa grandezza.

✅ Esempio completo:

P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7

• Grado: 3
• Termini simili: nessuno in questo caso.
• Applicazione pratica: se rappresenta il numero di unità prodotte, potrebbe modellare il profitto netto, considerando costi crescenti (es. tasse o manutenzione) con l’aumentare delle unità.

2. Operazioni tra polinomi e loro significato pratico

2.1 Somma e sottrazione

Per sommare o sottrarre polinomi, raggruppiamo i termini simili e sommiamo i coefficienti.

✅ Esempio guidato:

(2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 4x + 5)

• Risultato:

Spiegazione pratica:

Immaginiamo che rappresenti ore di lavoro e i coefficienti il guadagno per ora in due progetti diversi. Sommare i polinomi ci permette di sapere quanto si guadagnerà in totale combinando i due progetti.

Regola chiave: mai sommare termini con variabili o esponenti diversi!

• Errore comune: , perché i termini non sono simili.

2.2 Moltiplicazione

La moltiplicazione di polinomi si basa sulla proprietà distributiva: ogni termine del primo polinomio deve moltiplicare ogni termine del secondo.

• Monomio × polinomio:

3x \cdot (x^2 - 2x + 5) = 3x^3 - 6x^2 + 15x

• Polinomio × polinomio:

(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6

Perché serve?

Moltiplicare polinomi permette di modellare situazioni in cui due variabili o quantità influenzano il risultato simultaneamente. Ad esempio, calcolare l’area di un terreno rettangolare dove la lunghezza e la larghezza variano in base a parametri diversi.

Regole chiave:

1. Moltiplica sempre coefficienti tra loro e variabili tra loro.
2. Applica le potenze:
3. Somma i termini simili solo alla fine.

2.3 Divisione

• Divisione tra monomio e polinomio: si divide ciascun termine del polinomio per il monomio.

  • Esempio:

• Divisione tra polinomi interi: più complessa, spesso si usa la divisione sintetica o il metodo di Ruffini se il divisore è un binomio .

✅ Esempio con Ruffini:

P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \quad \text{diviso per } x-2

• Passo 2: applichiamo Ruffini con 2 come radice
• Risultato:

Applicazione pratica:

Se il polinomio rappresenta il profitto in funzione delle unità prodotte, dividere per un fattore può aiutare a capire quale quantità produce un determinato effetto sul profitto (ad esempio break-even point).

2.4 Prodotti notevoli

I prodotti notevoli semplificano calcoli e fattorizzazioni.

1. Quadrato di un binomio:
   
   

2. Somma e differenza di due termini:
   

3. Cubo di un binomio:
   
   

Esempio pratico:

Se rappresenta metri quadrati, questa formula calcola immediatamente l’area di un giardino aumentato di 5 metri su ogni lato senza fare moltiplicazioni lunghe.

2.5 Fattorizzazione

Fattorizzare significa scrivere un polinomio come prodotto di polinomi più semplici, utile per risolvere equazioni e semplificare calcoli.

Metodi principali:

1. Raccoglimento: mettere in evidenza il fattore comune.

6x^3 + 12x^2 - 18x = 6x(x^2 + 2x - 3)

2. Prodotti notevoli: riconoscere quadrati, differenze di quadrati, cubi.

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

3. Ruffini: usare quando il polinomio è di grado ≥2 e si divide per .

Utilità pratica:

Fattorizzare permette di trovare velocemente zeri di un polinomio, utili ad esempio per sapere quando un ricavo o un’area diventa zero.

3. Applicazioni concrete dei polinomi

• Geometria: area di superfici variabili. Se un lato del quadrato cresce di metri: .
• Fisica: moto rettilineo uniformemente accelerato: (s(t) = s_0 +

• Fisica (continuazione): nel moto rettilineo uniformemente accelerato, la posizione di un oggetto nel tempo è data dalla formula:

s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2

• Economia e finanza: se il profitto in funzione delle unità prodotte è

P(x) = -2x^2 + 50x - 100

• Informatica: polinomi possono descrivere algoritmi o complessità computazionale. Ad esempio, se un algoritmo richiede operazioni per elementi, sapere il polinomio aiuta a stimare i tempi di esecuzione per input grandi.

4. Esempi svolti passo passo

Esempio 1 – Somma e sottrazione

(4x^2 + 3x - 2) + (-x^2 + 5x + 1)

• Risultato:
  Interpretazione: combinando le quantità rappresentate dai due polinomi otteniamo un’unica espressione semplificata che descrive la somma dei due effetti.

Esempio 2 – Prodotto notevole inverso

(3x)^2 - 4^2

• Applicazione:
  Interpretazione: utile ad esempio per scomporre un’area in rettangoli più semplici o calcolare valori senza moltiplicazioni lunghe.

Esempio 3 – Fattorizzazione mista

6x^3 + 12x^2 - 18x

• Passo 2: fattorizziamo il trinomio:
  Interpretazione pratica: trovare rapidamente le soluzioni dell’equazione per determinare valori critici in un problema reale.