Corso di matematica propedeutica alla fisica: 6 Calcolo differenziale

6 Calcolo differenziale

1. Richiami e notazione

Se abbiamo una funzione f: ℝ → ℝ, la derivata prima è definita come:

f′(x) = lim (h → 0) [ f(x+h) – f(x) ] / h

Questa formula misura la variazione istantanea della funzione in un punto, ossia la pendenza della retta tangente al grafico.

2. Derivate parziali

Se invece consideriamo una funzione f: ℝⁿ → ℝ con variabili x₁, …, xₙ, la derivata parziale rispetto a xᵢ si scrive:

∂f/∂xᵢ (x) = lim (h → 0) [ f(x₁, …, xᵢ+h, …, xₙ) – f(x₁, …, xₙ) ] / h

Essa misura come cambia la funzione quando si varia solo una variabile, mantenendo fisse le altre.

3. Differenziale totale

Per funzioni di due variabili (n=2), il differenziale totale è:

df = fₓ dx + fᵧ dy

Esso rappresenta l’approssimazione lineare della variazione di f al variare di (x,y).

4. Gradiente

Il gradiente di una funzione è il vettore delle derivate parziali:

∇f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y , … )

Indica la direzione di massima crescita della funzione.

5. Derivata direzionale

Data una direzione u (vettore unitario), la derivata direzionale di f è definita come:

Dᵤ f(x) = ∇f(x) · u

Essa misura la variazione della funzione lungo la direzione del vettore u.

6. Derivate di ordine superiore (variabile singola)

Se una funzione f è sufficientemente regolare (liscia), si possono definire le sue derivate successive:

f′, f′′, f^(3), …

Le regole di derivazione rimangono le stesse della derivata prima: linearità, prodotto, quoziente, catena.

Applicazione fisica

Se x(t) rappresenta la posizione di un corpo in funzione del tempo:

• v(t) = x′(t) è la velocità

• a(t) = x′′(t) è l’accelerazione

Quindi le derivate successive descrivono grandezze fisiche di interesse (moto).

7. Derivazione e sviluppo di Taylor

Sia:
f(x) = x⁴ – 4x³ + 6x²

Calcoliamo le derivate fino alla quarta:

1. Prima derivata:
   f′(x) = 4x³ – 12x² + 12x

(Passaggi: derivata di x⁴ → 4x³; derivata di −4x³ → −12x²; derivata di 6x² → 12x)

2. Seconda derivata:
   f′′(x) = 12x² – 24x + 12

(Passaggi: derivata di 4x³ → 12x²; di −12x² → −24x; di 12x → 12)

3. Terza derivata:
   f^(3)(x) = 24x – 24

(Passaggi: derivata di 12x² → 24x; di −24x → −24; costante 12 → 0)

4. Quarta derivata:
   f^(4)(x) = 24

8. Sviluppo di Taylor centrato in x₀ = 1, fino al secondo ordine

Calcoliamo i valori:

• f(1) = 1 – 4 + 6 = 3

• f′(1) = 4 – 12 + 12 = 4

• f′′(1) = 12 – 24 + 12 = 0

Formula di Taylor al secondo ordine:

f(x) ≈ f(1) + f′(1)(x – 1) + ½ f′′(1)(x – 1)²

Sostituendo:

f(x) ≈ 3 + 4(x – 1) + 0

quindi:

f(x) ≈ 4x – 1 (per valori di x vicini a 1)

9. Derivate parziali e funzioni di più variabili

Sia la funzione:

f(x,y) = x²y + e^(xy)

Calcoliamo le derivate parziali e le derivate miste, passo passo.

10. Derivata parziale rispetto a x

fₓ(x,y) = ∂/∂x (x²y) + ∂/∂x (e^(xy))

Primo termine:
∂/∂x (x²y) = 2xy (trattando y come costante)

Secondo termine:
∂/∂x (e^(xy)) = e^(xy) · ∂/∂x (xy) = e^(xy) · y

Quindi:
fₓ(x,y) = 2xy + y e^(xy) = y (2x + e^(xy))

11. Derivata parziale rispetto a y

fᵧ(x,y) = ∂/∂y (x²y) + ∂/∂y (e^(xy))

Primo termine:
∂/∂y (x²y) = x²

Secondo termine:
∂/∂y (e^(xy)) = e^(xy) · ∂/∂y (xy) = e^(xy) · x

Quindi:
fᵧ(x,y) = x² + x e^(xy) = x (x + e^(xy))

12. Derivate miste

Derivata mista fₓᵧ:

fₓᵧ = ∂/∂y (fₓ) = ∂/∂y [y (2x + e^(xy))]

Usiamo la regola del prodotto:
∂/∂y [y · (2x + e^(xy))] = 1 · (2x + e^(xy)) + y · ∂/∂y (e^(xy))

Calcoliamo:
∂/∂y (e^(xy)) = e^(xy) · x

Quindi:
fₓᵧ = 2x + e^(xy) + y (x e^(xy)) = 2x + e^(xy)(1 + xy)

Derivata mista fᵧₓ:

fᵧₓ = ∂/∂x (fᵧ) = ∂/∂x [x² + x e^(xy)]

Deriviamo termine per termine:

• ∂/∂x (x²) = 2x

• ∂/∂x (x e^(xy)) = 1 · e^(xy) + x · y e^(xy) = e^(xy) + xy e^(xy) = e^(xy)(1 + xy)

Quindi:
fᵧₓ = 2x + e^(xy)(1 + xy)

13. Osservazione

Si vede che:

fₓᵧ = fᵧₓ

Questo è il teorema di Clairaut, come atteso perché f è di classe C² (derivabile due volte e continue).

14. Differenziale totale e approssimazione lineare

Per una funzione f(x,y) regolare, la variazione della funzione per piccoli incrementi Δx e Δy si può approssimare con il differenziale totale:

Δf ≈ df = fₓ(x,y)·Δx + fᵧ(x,y)·Δy

15. Approssimazione numerica

Consideriamo la funzione:

f(x,y) = x²y + sin(xy)

Vogliamo stimare la variazione partendo dal punto (x,y) = (1,0.5) con incrementi:

Δx = 0.01, Δy = −0.02

16. Calcolo delle derivate parziali

fₓ = ∂/∂x (x²y + sin(xy)) = 2xy + cos(xy)·y

fᵧ = ∂/∂y (x²y + sin(xy)) = x² + cos(xy)·x

17. Valutazione al punto (1,0.5)

xy = 1·0.5 = 0.5

cos(0.5) ≈ 0.877582562

fₓ(1,0.5) = 2·1·0.5 + 0.877582562·0.5
= 1 + 0.438791281
= 1.438791281

fᵧ(1,0.5) = 1² + 0.877582562·1
= 1 + 0.877582562
= 1.877582562

18. Calcolo del differenziale totale

df ≈ fₓ·Δx + fᵧ·Δy
= 1.438791281·0.01 + 1.877582562·(−0.02)

Passaggi numerici:

1.438791281 × 0.01 = 0.01438791281
1.877582562 × (−0.02) = −0.03755165124

Somma: 0.01438791281 − 0.03755165124 = −0.02316373843

19. Conclusione

Δf ≈ −0.02316

Ciò significa che f diminuisce di circa 0.02316 per gli incrementi dati in x e y.

Ecco il contenuto trasformato in testo semplice e copiabile su Blogger, con spiegazioni chiare e passaggi numerici:

20. Gradiente e direzioni di massima crescita

Il gradiente ∇f(x) è il vettore delle derivate parziali. Indica la direzione in cui la funzione f cresce più rapidamente, e la derivata massima in quella direzione vale:

|∇f|

La derivata direzionale lungo un vettore unitario u si calcola con:

Dᵤf = ∇f · u

Il valore massimo della derivata direzionale si ottiene scegliendo u nella direzione del gradiente:

max ∥u∥=1 Dᵤf = ∥∇f∥, ottenuto per u = ∇f / ∥∇f∥

21. Calcolo direzionale

Consideriamo la funzione:

f(x,y) = x eʸ

Vogliamo calcolare la derivata direzionale lungo v = (1,1) nel punto (1,0).

Calcolo del gradiente

fₓ = ∂/∂x (x eʸ) = eʸ
fᵧ = ∂/∂y (x eʸ) = x eʸ

Al punto (1,0):

fₓ(1,0) = e⁰ = 1
fᵧ(1,0) = 1·e⁰ = 1

Quindi: ∇f(1,0) = (1,1)

Vettore unitario nella direzione di v

v = (1,1)

Norma di v: ∥v∥ = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1.414213562

Unit vector: u = (1/√2)·(1,1) = (1/√2, 1/√2)

Derivata direzionale

Dᵤf(1,0) = ∇f(1,0) · u = (1,1) · (1/√2, 1/√2)

Calcolo: Dᵤf(1,0) = 1/√2·1 + 1/√2·1 = 2/√2 = √2 ≈ 1.414213562

Osservazioni

• La direzione di massima crescita è il gradiente stesso: ∇f(1,0) = (1,1)

• Il valore massimo della derivata direzionale è ∥∇f∥ = √(1² + 1²) = √2

22. Gradiente e direzioni di massima crescita

Il gradiente ∇f(x) è il vettore delle derivate parziali. Indica la direzione in cui la funzione f cresce più rapidamente, e la derivata massima in quella direzione vale:

|∇f|

La derivata direzionale lungo un vettore unitario u si calcola con:

Dᵤf = ∇f · u

Il valore massimo della derivata direzionale si ottiene scegliendo u nella direzione del gradiente:

max ∥u∥=1 Dᵤf = ∥∇f∥, ottenuto per u = ∇f / ∥∇f∥

23. Calcolo direzionale

Consideriamo la funzione:

f(x,y) = x eʸ

Vogliamo calcolare la derivata direzionale lungo v = (1,1) nel punto (1,0).

1️⃣ Calcolo del gradiente

fₓ = ∂/∂x (x eʸ) = eʸ
fᵧ = ∂/∂y (x eʸ) = x eʸ

Al punto (1,0):

fₓ(1,0) = e⁰ = 1
fᵧ(1,0) = 1·e⁰ = 1

Quindi: ∇f(1,0) = (1,1)

2️⃣ Vettore unitario nella direzione di v

v = (1,1)

Norma di v: ∥v∥ = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1.414213562

Unit vector: u = (1/√2)·(1,1) = (1/√2, 1/√2)

3️⃣ Derivata direzionale

Dᵤf(1,0) = ∇f(1,0) · u = (1,1) · (1/√2, 1/√2)

Calcolo: Dᵤf(1,0) = 1/√2·1 + 1/√2·1 = 2/√2 = √2 ≈ 1.414213562

 Osservazioni

• La direzione di massima crescita è il gradiente stesso: ∇f(1,0) = (1,1)

• Il valore massimo della derivata direzionale è ∥∇f∥ = √(1² + 1²) = √2

24. Differenziale totale di ordine superiore e matrice Hessiana

Per una funzione f : ℝⁿ → ℝ con derivate seconde continue, la matrice Hessiana è:

$$H_f(\mathbf x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \end{pmatrix}_{i,j}$$

L’espansione di Taylor fino al secondo ordine intorno a $\mathbf x_0$ è:

$$f(\mathbf x_0 + \mathbf h) \approx f(\mathbf x_0) + \nabla f(\mathbf x_0)\cdot \mathbf h + \frac{1}{2} \mathbf h^T H_f(\mathbf x_0)\mathbf h$$

25. Classificazione dei punti critici (n=2)

Se $\nabla f(x_0,y_0) = 0$, definiamo:

$$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$

• $D>0$ e $f_{xx}>0 \Rightarrow$ minimo locale

• $D>0$ e $f_{xx}<0 \Rightarrow$ massimo locale

• $D<0 \Rightarrow$ punto di sella

• $D=0 \Rightarrow$ test inconcludente

26. Minimo locale

$f(x,y) = x^2 + y^2$

• $f_x = 2x$, $f_y = 2y$

• Punto critico: $(0,0)$

Hessiana:

$$H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow D = 2\cdot2 - 0 = 4 > 0$$

Poiché $f_{xx} = 2>0$, abbiamo minimo locale (in realtà globale).

27. Punto di sella

$g(x,y) = x^2 - y^2$

• $g_x = 2x$, $g_y = -2y$

• Punto critico: $(0,0)$

Hessiana:

$$H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow D = 2\cdot(-2)-0 = -4 < 0$$

→ sella

28. Regole di derivazione per funzioni composte (catena multivariata)

Se $z = f(x,y)$ con $x = g(t)$, $y = h(t)$, allora:

$$\frac{dz}{dt} = f_x \frac{dx}{dt} + f_y \frac{dy}{dt}$$

29. Catena

$f(x,y) = x^2 y$, $x(t) = \sin t$, $y(t) = t^2$

• $f_x = 2xy$, $f_y = x^2$

• $dx/dt = \cos t$, $dy/dt = 2t$

$$\frac{dz}{dt} = 2 x(t) y(t) \cos t + x(t)^2 \cdot 2t$$

In $t=0$: $x(0)=0$, $y(0)=0$, cos(0)=1

$\frac{dz}{dt}(0) = 0$

30. Applicazioni fisiche

Campo di temperature (legge di Fourier)

Per campo $T(x,y,z)$ e conducibilità $k$:

$$\mathbf q = -k \nabla T$$

Flusso termico

T(x,y,z)=100−2(x2+y2+z2), $k = 0.6\ W/(m\cdot K)$

$\nabla T = (-4x, -4y, -4z)$

Valutando in $(1,-1,0.5)$: $\nabla T = (-4,4,-2)$

$\mathbf q = -0.6 \nabla T = (2.4, -2.4, 1.2)\ W/m^2$

Modulo: $\|\mathbf q\| = \sqrt{2.4^2 + (-2.4)^2 + 1.2^2} = 3.6\ W/m^2$

Pendenza di superfici e piano tangente

Per $z = f(x,y)$, piano tangente in $(x_0,y_0)$:

$$z - z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Pendenza lungo unità $u = (u_x,u_y)$: $D_u f = \nabla f \cdot u$

Piano tangente

f(x,y)=x2+xy+y2, punto (1,1)

• $f_x = 2x+y = 3$, $f_y = x+2y = 3$

• $z_0 = f(1,1) = 3$

Piano tangente: $z = 3 + 3(x-1)+3(y-1) = 3x + 3y -3$

Direzione $v=(2,1)$ → unità $u = (2/\sqrt5,1/\sqrt5)$

$$D_u f = (3,3) \cdot (2/\sqrt5,1/\sqrt5) = 9/\sqrt5 \approx 4.025$$

Lavoro di forze variabili

Lavoro lungo curva $C$ parametrizzata $r(t)$:

$$W = \int_C \mathbf F \cdot d\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)\, dt$$

• Se $\mathbf F$ è conservativa ($\mathbf F = -\nabla V$), lavoro tra due punti = $-\Delta V$

1D

$F(x) = 3x^2$, da x=0 a x=2

$$W = \int_0^2 3x^2 dx = [x^3]_0^2 = 8\ J$$

2D

$\mathbf F(x,y) = (2xy, x^2)$, percorso $r(t)=(t,t^2), t\in[0,1]$

• $r'(t) = (1,2t)$, $F(r(t))=(2t^3, t^2)$

• Prodotto scalare: $F\cdot r' = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3$

$$W = \int_0^1 4 t^3 dt = 1\ J$$

Verifica: campo conservativo, potenziale $\phi(x,y) = x^2 y + C$ → conferma lavoro = $\phi(B)-\phi(A) = 1$

31. Riepilogo operativo

Devi saper:

• Derivare funzioni di una variabile e interpretare $f'$, $f''$ in contesti fisici

• Calcolare derivate parziali e gradienti di funzioni multivariabili

• Usare il differenziale totale per approssimazioni e propagazione di errori

• Calcolare derivate direzionali e identificare massima crescita tramite il gradiente

• Costruire la Hessiana e classificare punti critici (minimo, massimo, sella)

• Calcolare lavoro di forze variabili e riconoscere campi conservativi

• Applicare il calcolo differenziale a campi di temperatura e pendenze di superfici