Corso di matematica propedeutica alla fisica: 6 Calcolo differenziale

6 Calcolo differenziale

1. Richiami e notazione

Se abbiamo una funzione f: ℝ → ℝ, la derivata prima è definita come:

f′(x) = lim (h → 0) [ f(x+h) – f(x) ] / h

Questa formula misura la variazione istantanea della funzione in un punto, ossia la pendenza della retta tangente al grafico.

2. Derivate parziali

Se invece consideriamo una funzione f: ℝⁿ → ℝ con variabili x₁, …, xₙ, la derivata parziale rispetto a xᵢ si scrive:

∂f/∂xᵢ (x) = lim (h → 0) [ f(x₁, …, xᵢ+h, …, xₙ) – f(x₁, …, xₙ) ] / h

Essa misura come cambia la funzione quando si varia solo una variabile, mantenendo fisse le altre.

3. Differenziale totale

Per funzioni di due variabili (n=2), il differenziale totale è:

df = fₓ dx + fᵧ dy

Esso rappresenta l’approssimazione lineare della variazione di f al variare di (x,y).

4. Gradiente

Il gradiente di una funzione è il vettore delle derivate parziali:

∇f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y , … )

Indica la direzione di massima crescita della funzione.

5. Derivata direzionale

Data una direzione u (vettore unitario), la derivata direzionale di f è definita come:

Dᵤ f(x) = ∇f(x) · u

Essa misura la variazione della funzione lungo la direzione del vettore u.

6. Derivate di ordine superiore (variabile singola)

Se una funzione f è sufficientemente regolare (liscia), si possono definire le sue derivate successive:

f′, f′′, f^(3), …

Le regole di derivazione rimangono le stesse della derivata prima: linearità, prodotto, quoziente, catena.

Applicazione fisica

Se x(t) rappresenta la posizione di un corpo in funzione del tempo:

• v(t) = x′(t) è la velocità

• a(t) = x′′(t) è l’accelerazione

Quindi le derivate successive descrivono grandezze fisiche di interesse (moto).

7. Derivazione e sviluppo di Taylor

Sia:
f(x) = x⁴ – 4x³ + 6x²

Calcoliamo le derivate fino alla quarta:

1. Prima derivata:
   f′(x) = 4x³ – 12x² + 12x

(Passaggi: derivata di x⁴ → 4x³; derivata di −4x³ → −12x²; derivata di 6x² → 12x)

2. Seconda derivata:
   f′′(x) = 12x² – 24x + 12

(Passaggi: derivata di 4x³ → 12x²; di −12x² → −24x; di 12x → 12)

3. Terza derivata:
   f^(3)(x) = 24x – 24

(Passaggi: derivata di 12x² → 24x; di −24x → −24; costante 12 → 0)

4. Quarta derivata:
   f^(4)(x) = 24

8. Sviluppo di Taylor centrato in x₀ = 1, fino al secondo ordine

Calcoliamo i valori:

• f(1) = 1 – 4 + 6 = 3

• f′(1) = 4 – 12 + 12 = 4

• f′′(1) = 12 – 24 + 12 = 0

Formula di Taylor al secondo ordine:

f(x) ≈ f(1) + f′(1)(x – 1) + ½ f′′(1)(x – 1)²

Sostituendo:

f(x) ≈ 3 + 4(x – 1) + 0

quindi:

f(x) ≈ 4x – 1 (per valori di x vicini a 1)

9. Derivate parziali e funzioni di più variabili

Sia la funzione:

f(x,y) = x²y + e^(xy)

Calcoliamo le derivate parziali e le derivate miste, passo passo.

10. Derivata parziale rispetto a x

fₓ(x,y) = ∂/∂x (x²y) + ∂/∂x (e^(xy))

Primo termine:
∂/∂x (x²y) = 2xy (trattando y come costante)

Secondo termine:
∂/∂x (e^(xy)) = e^(xy) · ∂/∂x (xy) = e^(xy) · y

Quindi:
fₓ(x,y) = 2xy + y e^(xy) = y (2x + e^(xy))

11. Derivata parziale rispetto a y

fᵧ(x,y) = ∂/∂y (x²y) + ∂/∂y (e^(xy))

Primo termine:
∂/∂y (x²y) = x²

Secondo termine:
∂/∂y (e^(xy)) = e^(xy) · ∂/∂y (xy) = e^(xy) · x

Quindi:
fᵧ(x,y) = x² + x e^(xy) = x (x + e^(xy))

12. Derivate miste

Derivata mista fₓᵧ:

fₓᵧ = ∂/∂y (fₓ) = ∂/∂y [y (2x + e^(xy))]

Usiamo la regola del prodotto:
∂/∂y [y · (2x + e^(xy))] = 1 · (2x + e^(xy)) + y · ∂/∂y (e^(xy))

Calcoliamo:
∂/∂y (e^(xy)) = e^(xy) · x

Quindi:
fₓᵧ = 2x + e^(xy) + y (x e^(xy)) = 2x + e^(xy)(1 + xy)

Derivata mista fᵧₓ:

fᵧₓ = ∂/∂x (fᵧ) = ∂/∂x [x² + x e^(xy)]

Deriviamo termine per termine:

• ∂/∂x (x²) = 2x

• ∂/∂x (x e^(xy)) = 1 · e^(xy) + x · y e^(xy) = e^(xy) + xy e^(xy) = e^(xy)(1 + xy)

Quindi:
fᵧₓ = 2x + e^(xy)(1 + xy)

13. Osservazione

Si vede che:

fₓᵧ = fᵧₓ

Questo è il teorema di Clairaut, come atteso perché f è di classe C² (derivabile due volte e continue).

14. Differenziale totale e approssimazione lineare

Per una funzione f(x,y) regolare, la variazione della funzione per piccoli incrementi Δx e Δy si può approssimare con il differenziale totale:

Δf ≈ df = fₓ(x,y)·Δx + fᵧ(x,y)·Δy

15. Approssimazione numerica

Consideriamo la funzione:

f(x,y) = x²y + sin(xy)

Vogliamo stimare la variazione partendo dal punto (x,y) = (1,0.5) con incrementi:

Δx = 0.01, Δy = −0.02

16. Calcolo delle derivate parziali

fₓ = ∂/∂x (x²y + sin(xy)) = 2xy + cos(xy)·y

fᵧ = ∂/∂y (x²y + sin(xy)) = x² + cos(xy)·x

17. Valutazione al punto (1,0.5)

xy = 1·0.5 = 0.5

cos(0.5) ≈ 0.877582562

fₓ(1,0.5) = 2·1·0.5 + 0.877582562·0.5
= 1 + 0.438791281
= 1.438791281

fᵧ(1,0.5) = 1² + 0.877582562·1
= 1 + 0.877582562
= 1.877582562

18. Calcolo del differenziale totale

df ≈ fₓ·Δx + fᵧ·Δy
= 1.438791281·0.01 + 1.877582562·(−0.02)

Passaggi numerici:

1.438791281 × 0.01 = 0.01438791281
1.877582562 × (−0.02) = −0.03755165124

Somma: 0.01438791281 − 0.03755165124 = −0.02316373843

19. Conclusione

Δf ≈ −0.02316

Ciò significa che f diminuisce di circa 0.02316 per gli incrementi dati in x e y.

Ecco il contenuto trasformato in testo semplice e copiabile su Blogger, con spiegazioni chiare e passaggi numerici:

20. Gradiente e direzioni di massima crescita

Il gradiente ∇f(x) è il vettore delle derivate parziali. Indica la direzione in cui la funzione f cresce più rapidamente, e la derivata massima in quella direzione vale:

|∇f|

La derivata direzionale lungo un vettore unitario u si calcola con:

Dᵤf = ∇f · u

Il valore massimo della derivata direzionale si ottiene scegliendo u nella direzione del gradiente:

max ∥u∥=1 Dᵤf = ∥∇f∥, ottenuto per u = ∇f / ∥∇f∥

21. Calcolo direzionale

Consideriamo la funzione:

f(x,y) = x eʸ

Vogliamo calcolare la derivata direzionale lungo v = (1,1) nel punto (1,0).

Calcolo del gradiente

fₓ = ∂/∂x (x eʸ) = eʸ
fᵧ = ∂/∂y (x eʸ) = x eʸ

Al punto (1,0):

fₓ(1,0) = e⁰ = 1
fᵧ(1,0) = 1·e⁰ = 1

Quindi: ∇f(1,0) = (1,1)

Vettore unitario nella direzione di v

v = (1,1)

Norma di v: ∥v∥ = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1.414213562

Unit vector: u = (1/√2)·(1,1) = (1/√2, 1/√2)

Derivata direzionale

Dᵤf(1,0) = ∇f(1,0) · u = (1,1) · (1/√2, 1/√2)

Calcolo: Dᵤf(1,0) = 1/√2·1 + 1/√2·1 = 2/√2 = √2 ≈ 1.414213562

Osservazioni

• La direzione di massima crescita è il gradiente stesso: ∇f(1,0) = (1,1)

• Il valore massimo della derivata direzionale è ∥∇f∥ = √(1² + 1²) = √2

22. Gradiente e direzioni di massima crescita

Il gradiente ∇f(x) è il vettore delle derivate parziali. Indica la direzione in cui la funzione f cresce più rapidamente, e la derivata massima in quella direzione vale:

|∇f|

La derivata direzionale lungo un vettore unitario u si calcola con:

Dᵤf = ∇f · u

Il valore massimo della derivata direzionale si ottiene scegliendo u nella direzione del gradiente:

max ∥u∥=1 Dᵤf = ∥∇f∥, ottenuto per u = ∇f / ∥∇f∥

23. Calcolo direzionale

Consideriamo la funzione:

f(x,y) = x eʸ

Vogliamo calcolare la derivata direzionale lungo v = (1,1) nel punto (1,0).

1️⃣ Calcolo del gradiente

fₓ = ∂/∂x (x eʸ) = eʸ
fᵧ = ∂/∂y (x eʸ) = x eʸ

Al punto (1,0):

fₓ(1,0) = e⁰ = 1
fᵧ(1,0) = 1·e⁰ = 1

Quindi: ∇f(1,0) = (1,1)

2️⃣ Vettore unitario nella direzione di v

v = (1,1)

Norma di v: ∥v∥ = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1.414213562

Unit vector: u = (1/√2)·(1,1) = (1/√2, 1/√2)

3️⃣ Derivata direzionale

Dᵤf(1,0) = ∇f(1,0) · u = (1,1) · (1/√2, 1/√2)

Calcolo: Dᵤf(1,0) = 1/√2·1 + 1/√2·1 = 2/√2 = √2 ≈ 1.414213562

 Osservazioni

• La direzione di massima crescita è il gradiente stesso: ∇f(1,0) = (1,1)

• Il valore massimo della derivata direzionale è ∥∇f∥ = √(1² + 1²) = √2

24. Differenziale totale di ordine superiore e matrice Hessiana

Per una funzione f : ℝⁿ → ℝ con derivate seconde continue, la matrice Hessiana è:

$$H_f(\mathbf x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \end{pmatrix}_{i,j}$$

L’espansione di Taylor fino al secondo ordine intorno a $\mathbf x_0$ è:

$$f(\mathbf x_0 + \mathbf h) \approx f(\mathbf x_0) + \nabla f(\mathbf x_0)\cdot \mathbf h + \frac{1}{2} \mathbf h^T H_f(\mathbf x_0)\mathbf h$$

25. Classificazione dei punti critici (n=2)

Se $\nabla f(x_0,y_0) = 0$, definiamo:

$$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$

• $D>0$ e $f_{xx}>0 \Rightarrow$ minimo locale

• $D>0$ e $f_{xx}<0 \Rightarrow$ massimo locale

• $D<0 \Rightarrow$ punto di sella

• $D=0 \Rightarrow$ test inconcludente

26. Minimo locale

$f(x,y) = x^2 + y^2$

• $f_x = 2x$, $f_y = 2y$

• Punto critico: $(0,0)$

Hessiana:

$$H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow D = 2\cdot2 - 0 = 4 > 0$$

Poiché $f_{xx} = 2>0$, abbiamo minimo locale (in realtà globale).

27. Punto di sella

$g(x,y) = x^2 - y^2$

• $g_x = 2x$, $g_y = -2y$

• Punto critico: $(0,0)$

Hessiana:

$$H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow D = 2\cdot(-2)-0 = -4 < 0$$

→ sella

28. Regole di derivazione per funzioni composte (catena multivariata)

Se $z = f(x,y)$ con $x = g(t)$, $y = h(t)$, allora:

$$\frac{dz}{dt} = f_x \frac{dx}{dt} + f_y \frac{dy}{dt}$$

29. Catena

$f(x,y) = x^2 y$, $x(t) = \sin t$, $y(t) = t^2$

• $f_x = 2xy$, $f_y = x^2$

• $dx/dt = \cos t$, $dy/dt = 2t$

$$\frac{dz}{dt} = 2 x(t) y(t) \cos t + x(t)^2 \cdot 2t$$

In $t=0$: $x(0)=0$, $y(0)=0$, cos(0)=1

$\frac{dz}{dt}(0) = 0$

30. Applicazioni fisiche

Campo di temperature (legge di Fourier)

Per campo $T(x,y,z)$ e conducibilità $k$:

$$\mathbf q = -k \nabla T$$

Flusso termico

T(x,y,z)=100−2(x2+y2+z2), $k = 0.6\ W/(m\cdot K)$

$\nabla T = (-4x, -4y, -4z)$

Valutando in $(1,-1,0.5)$: $\nabla T = (-4,4,-2)$

$\mathbf q = -0.6 \nabla T = (2.4, -2.4, 1.2)\ W/m^2$

Modulo: $\|\mathbf q\| = \sqrt{2.4^2 + (-2.4)^2 + 1.2^2} = 3.6\ W/m^2$

Pendenza di superfici e piano tangente

Per $z = f(x,y)$, piano tangente in $(x_0,y_0)$:

$$z - z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Pendenza lungo unità $u = (u_x,u_y)$: $D_u f = \nabla f \cdot u$

Piano tangente

f(x,y)=x2+xy+y2, punto (1,1)

• $f_x = 2x+y = 3$, $f_y = x+2y = 3$

• $z_0 = f(1,1) = 3$

Piano tangente: $z = 3 + 3(x-1)+3(y-1) = 3x + 3y -3$

Direzione $v=(2,1)$ → unità $u = (2/\sqrt5,1/\sqrt5)$

$$D_u f = (3,3) \cdot (2/\sqrt5,1/\sqrt5) = 9/\sqrt5 \approx 4.025$$

Lavoro di forze variabili

Lavoro lungo curva $C$ parametrizzata $r(t)$:

$$W = \int_C \mathbf F \cdot d\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)\, dt$$

• Se $\mathbf F$ è conservativa ($\mathbf F = -\nabla V$), lavoro tra due punti = $-\Delta V$

1D

$F(x) = 3x^2$, da x=0 a x=2

$$W = \int_0^2 3x^2 dx = [x^3]_0^2 = 8\ J$$

2D

$\mathbf F(x,y) = (2xy, x^2)$, percorso $r(t)=(t,t^2), t\in[0,1]$

• $r'(t) = (1,2t)$, $F(r(t))=(2t^3, t^2)$

• Prodotto scalare: $F\cdot r' = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3$

$$W = \int_0^1 4 t^3 dt = 1\ J$$

Verifica: campo conservativo, potenziale $\phi(x,y) = x^2 y + C$ → conferma lavoro = $\phi(B)-\phi(A) = 1$

31. Riepilogo operativo

Devi saper:

• Derivare funzioni di una variabile e interpretare $f'$, $f''$ in contesti fisici

• Calcolare derivate parziali e gradienti di funzioni multivariabili

• Usare il differenziale totale per approssimazioni e propagazione di errori

• Calcolare derivate direzionali e identificare massima crescita tramite il gradiente

• Costruire la Hessiana e classificare punti critici (minimo, massimo, sella)

• Calcolare lavoro di forze variabili e riconoscere campi conservativi

• Applicare il calcolo differenziale a campi di temperatura e pendenze di superfici

La Bussola del Cambiamento:

Capire il Calcolo Differenziale senza Formule

Vi siete mai chiesti come faccia il navigatore della vostra auto a calcolare la velocità istantanea, o come gli architetti prevedano la pendenza esatta di una cupola? La risposta sta in una branca affascinante della matematica: il calcolo differenziale. Anche se i libri di testo sono pieni di simboli complessi, i concetti che guidano questa materia sono incredibilmente intuitivi e riguardano il modo in cui le cose cambiano nel tempo e nello spazio.

1. La Derivata: l'Istante che conta

Immaginate di essere in auto. Il tachimetro non vi dice quanta strada avete fatto in un'ora, ma quanto state correndo proprio in questo millesimo di secondo.

• La Derivata Prima è esattamente questo: la misura della variazione istantanea. In fisica, se la funzione è la vostra posizione, la sua derivata è la velocità.

• La Derivata Seconda, invece, misura come cambia la velocità. Se premete il pedale, state variando la velocità: questa è l'accelerazione.

2. Il Gradiente: la Strada verso la Vetta

Quando ci spostiamo in un mondo a più dimensioni (come un escursionista su una montagna), le cose si fanno interessanti. Se vi fermate su un pendio, potete muovervi in infinite direzioni.

• Le Derivate Parziali analizzano il cambiamento un passo alla volta: quanto sale il terreno se vado solo verso Nord? E se vado solo verso Est?

• Il Gradiente è come una bussola magica: è un vettore che unisce queste informazioni e punta dritto verso la direzione di massima pendenza. Se volete raggiungere la cima nel modo più veloce possibile, dovete seguire il gradiente.

3. Punti di Sella e Panorami Matematici

In matematica, come in montagna, esistono punti speciali chiamati "critici":

1. Minimi e Massimi: Il fondo di una valle o la punta della vetta. Qui il gradiente è zero; siete in piano.

2. Punti di Sella: Immaginate un passo di montagna. Se guardate a destra e sinistra, vedete le pareti che salgono (un minimo), ma se guardate davanti e dietro, il sentiero scende verso le valli opposte (un massimo). Questa particolare conformazione è fondamentale per capire l'equilibrio dei sistemi fisici.

4. L'Arte di Approssimare: Taylor e il Differenziale

La natura è complicata e le sue curve sono spesso irregolari. Per studiarle, gli scienziati usano un trucco: l'approssimazione lineare.

Se guardate una piccolissima porzione di una curva attraverso un microscopio potentissimo, sembrerà una linea retta. Il Differenziale Totale ci permette di usare questa "linea retta" per stimare piccoli cambiamenti senza dover rifare calcoli enormi. È lo stesso principio per cui, su scala locale, possiamo costruire una casa su un pavimento piatto anche se la Terra è rotonda.

5. Dal Calore al Lavoro: Applicazioni Reali

Questi concetti non servono solo a riempire le lavagne:

• Flusso di Calore: Il calore si sposta sempre dalle zone calde a quelle fredde. Gli ingegneri usano il gradiente di temperatura per progettare isolamenti perfetti per le case.

• Lavoro e Forze: Quando una forza sposta un oggetto lungo un percorso curvo (pensate a un trenino sulle montagne russe), il calcolo differenziale permette di sommare ogni piccolo sforzo fatto in ogni istante per ottenere il Lavoro totale compiuto.

In sintesi

Il calcolo differenziale è lo strumento che usiamo per "fotografare" il cambiamento. Che si tratti di prevedere l'andamento di un'azione in borsa o di capire come si raffredda una tazza di caffè, stiamo sempre cercando di capire come una piccola variazione qui provochi un effetto là.