Corso di matematica propedeutica alla fisica: 3 Geometria analitica

3. Geometria Analitica

🎯 Obiettivi formativi
La geometria analitica permette di tradurre le figure geometriche in equazioni algebriche e sistemi numerici. Lo scopo di questo modulo è:

• Comprendere la relazione tra algebra e geometria.

• Descrivere punti, rette, piani, coniche e quadriche tramite equazioni.

• Analizzare problemi geometrici complessi utilizzando strumenti algebrici.

• Applicare la geometria analitica a fisica, ingegneria e informatica.

3.1 Sistemi di coordinate e punti nello spazio

La geometria analitica nasce dall’idea di associare a ogni punto dello spazio un insieme di numeri, le coordinate, in un sistema di riferimento.

• Nel piano cartesiano ($\mathbb{R}^2$), ogni punto è individuato da una coppia $(x,y)$.

• Nello spazio tridimensionale ($\mathbb{R}^3$), ogni punto è rappresentato da $(x,y,z)$.

3.1.1 Distanza tra punti

La distanza tra due punti è la lunghezza del segmento che li unisce. La formula generale deriva dal teorema di Pitagora esteso a tre dimensioni:

$$d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$

Spiegazione: si calcolano le differenze lungo ciascun asse, si elevano al quadrato, si sommano e si estrae la radice quadrata. Questo misura la “lunghezza del segmento” nello spazio.

Esempio: punti $A(1,-1,2)$ e $B(4,2,6)$

$$d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (2+1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34} \approx 5.831$$

3.1.2 Punto medio

Il punto medio $M$ è il punto che divide il segmento in due parti uguali:

$$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$$

Esempio: stesso segmento AB

$$M = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{-1+2}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (2.5,0.5,4)$$

3.2 Rette

Le rette possono essere descritte in vari modi, a seconda del contesto e delle informazioni disponibili.

3.2.1 Rette nel piano

• Equazione esplicita: $y = mx + q$, dove $m$ è il coefficiente angolare e $q$ l’intercetta sull’asse y.

• Equazione implicita: $Ax + By + C = 0$, utile per sistemi lineari.

• Forma segmentaria: $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} =1$, se si conoscono gli intercetti sugli assi.

Condizioni particolari:

• Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

• Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei coefficienti angolari è $-1$.

Esempio: Retta passante per $P_1(2,3)$ parallela a $y=-x+5$

• Il coefficiente angolare della retta data è $m=-1$, quindi la retta cercata avrà lo stesso $m$.

• Equazione: $y-3 = -1(x-2) \Rightarrow y=-x+5$

Osservazione: la retta passa per il punto dato e mantiene la stessa inclinazione.

3.2.2 Rette nello spazio ($\mathbb{R}^3$)

Nel 3D, una retta si definisce con un punto e un vettore direzione $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$:

$$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t \mathbf{v}, \quad t \in \mathbb{R}$$

• Forma parametrica: $(x,y,z) = (x_0+tv_x, y_0+tv_y, z_0+tv_z)$

• Forma simmetrica: $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, se tutti i componenti del vettore sono diversi da zero.

Esempio: Retta passante per $P(1,2,3)$ con vettore direzione $\mathbf{v}=(4,-2,1)$

• Parametrica: $(x,y,z)=(1+4t, 2-2t, 3+t)$

• Simmetrica: $\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{1}$

Esercizio svolto: trovare punto con $z=5$

$$3+t = 5 \Rightarrow t=2 \Rightarrow (1+4*2,2-2*2,5) = (9,-2,5)$$

3.3 Piani

Un piano nello spazio è determinato da un vettore normale e un punto del piano.

• Equazione generale: $ax + by + cz + d =0$

• Vettore normale: $\mathbf{n}=(a,b,c)$

• Distanza punto-piano:

$$\mathrm{dist}(P, \pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Esempio: Piano $x-2y+2z-5=0$, punto $P(3,1,0)$

• Numeratore: $3 -2 +0 -5 = -4$

• Denominatore: $\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$

• Distanza: $\frac{|-4|}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.333$

3.3.1 Intersezione retta-piano

Per trovare il punto di intersezione tra una retta e un piano:

1. Sostituire i parametri della retta nell’equazione del piano

2. Risolvere per $t$

3. Calcolare le coordinate corrispondenti

Esempio: Retta $(1+t,2-2t,3+t)$, piano $x+2y-z+1=0$

$$(1+t)+2(2-2t)-(3+t)+1=0 \Rightarrow -4t+3=0 \Rightarrow t=\frac{3}{4}$$

Punto di intersezione: $(1+3/4,2-2*3/4,3+3/4) = (1.75,0.5,3.75)$

3.4 Coniche

Le coniche sono curve piane ottenute dall’intersezione di un piano con un cono. L’equazione generale è:

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F =0$$

• Discriminante: $\Delta = B^2 - 4AC$

  • $\Delta <0$: ellisse

  • $\Delta =0$: parabola

  • $\Delta >0$: iperbole

Esempio avanzato: $5x^2 + 6xy + 5y^2 -2x + y -1=0$
$\Delta = 36-100=-64 <0 \Rightarrow$ ellisse

• Angolo di rotazione per eliminare il termine $xy$: $\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C} = \frac{6}{0} \Rightarrow \theta = 45^\circ$

3.5 Quadriche nello spazio

Equazione generale:

$$\mathbf{x}^T Q \mathbf{x} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{x} + c =0$$

• $Q$ simmetrica $3 \times 3$

• Segni autovalori → classificazione:

  • Tutti positivi → ellissoide

  • Segni misti → iperboloide

  • Zero → paraboloide

Esempi canonici:

• Ellissoide: $x^2/4 + y^2/9 + z^2/16=1$

• Iperboloide a una falda: $x^2 + y^2 - z^2=1$

• Paraboloide iperbolico: $z=x^2 - y^2$

3.6 Esercizi

1. Retta nello spazio passante per $P(1,0,2)$ con $\mathbf{v}=(2,1,3)$ → simmetrica: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{3}$

2. Distanza punto-piano: $2x-y+2z-5=0, P(3,1,0)$ → distanza $\frac{4}{3}$

3. Classificazione conica: $x^2 -4xy +4y^2=0$ → $\Delta=0$ → parabola degenerata

4. Quadriche: $x^2+2y^2-z^2+2x-4y+2z-1=0$ → completando i quadrati: $(x+1)^2+2(y-1)^2-(z-1)^2=1$ → iperboloide a una falda

3.7 Applicazioni interdisciplinari

• Fisica: moto parabolico, campi elettrici, ottica geometrica

• Ingegneria: sezioni strutturali, ponti, cupole

• Informatica: computer graphics, CAD 3D

• Architettura: prospettiva lineare, archi ellittici, cupole