Corso di matematica propedeutica alla fisica: 12 – Analisi complessa
12. Analisi complessa
L’analisi complessa è la branca della matematica che estende il calcolo differenziale e integrale ai numeri complessi. Questa disciplina è particolarmente potente perché le funzioni complesse, se derivabili, possiedono proprietà molto più forti rispetto a quelle reali: sono regolari, sviluppabili in serie e collegate a profonde applicazioni fisiche ed ingegneristiche.
Numeri complessi e piano complesso
Un numero complesso si scrive come:
z = x + i y
dove x è la parte reale, y la parte immaginaria, e i è l’unità immaginaria con i² = −1.
-
Modulo: |z| = √(x² + y²)
-
Argomento: θ = arctan(y/x)
-
Forma trigonometrica: z = r (cos θ + i sin θ), con r = |z|
-
Forma esponenziale: z = r e^(iθ) (formula di Eulero)
Le operazioni di somma, prodotto e divisione trovano una rappresentazione geometrica naturale nel piano complesso.
Funzioni olomorfe
Una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) è detta olomorfa se è derivabile in senso complesso. Ciò richiede che le equazioni di Cauchy-Riemann siano soddisfatte:
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = −∂v/∂x
Le funzioni olomorfe sono infinite volte derivabili e analitiche, cioè sviluppabili in serie di potenze.
Integrali complessi
Un risultato fondamentale è il teorema di Cauchy:
Se f(z) è olomorfa in un dominio semplicemente connesso, allora l’integrale lungo ogni curva chiusa γ è nullo:
∮ f(z) dz = 0
Da questo segue la formula integrale di Cauchy:
f(z₀) = (1 / 2πi) ∮ (f(z) / (z − z₀)) dz
Questa formula permette di ricostruire i valori della funzione dall’integrale sul contorno.
Serie di Laurent e singolarità
Se una funzione ha singolarità (punti in cui non è definita o diverge), può essere sviluppata in serie di Laurent:
f(z) = Σ aₙ (z − z₀)ⁿ
con indici n sia positivi sia negativi.
Il termine con n = −1 è il residuo della funzione nel punto z₀.
Il teorema dei residui afferma:
∮ f(z) dz = 2πi Σ residui
Questo rende il calcolo di integrali complessi e reali molto più semplice.
Trasformata di Fourier e di Laplace
Trasformata di Fourier:
F(ω) = ∫ f(t) e^(−i ω t) dt
Permette di passare dal dominio del tempo a quello delle frequenze.
Trasformata di Laplace:
F(s) = ∫ f(t) e^(−st) dt
Definita per variabile complessa s, è molto usata per risolvere equazioni differenziali lineari con condizioni iniziali.
Entrambe le trasformate si basano sull’analisi complessa e sulle proprietà delle funzioni olomorfe.
Applicazioni fisiche
-
Elettrotecnica (circuiti sinusoidali)
Le tensioni e correnti sinusoidali si rappresentano come numeri complessi (fasori).
Esempio: in un circuito RC, l’impedenza totale è
Z = R − i/(ωC)
Il calcolo della corrente e della fase si riduce a un’operazione algebrica sui numeri complessi.
-
Propagazione delle onde
Un’onda armonica può essere scritta come
ψ(x,t) = A e^(i(kx − ωt))
La parte reale descrive l’oscillazione fisica, mentre la rappresentazione complessa rende i calcoli più semplici.
-
Meccanica quantistica
La funzione d’onda ψ(x,t) è complessa e obbedisce all’equazione di Schrödinger.
L’uso dei numeri complessi è essenziale per descrivere fenomeni di interferenza e probabilità. -
Elettrostatica e potenziale
L’equazione di Laplace e le funzioni armoniche sono legate alle funzioni olomorfe. Questo permette di risolvere problemi di potenziale elettrico bidimensionale.
Esempi numerici
Esempio 1 – Circuito RC
Un circuito RC con R = 100 Ω e C = 10⁻³ F alimentato da una tensione sinusoidale di frequenza 50 Hz.
ω = 2π f = 314 rad/s
Z = R − i/(ωC) = 100 − i(1 / (314 · 10⁻³)) = 100 − i 3.18
Modulo dell’impedenza: |Z| ≈ √(100² + 3.18²) ≈ 100.05 Ω
La fase ≈ −1.8°
Risultato: la corrente è praticamente in fase con la tensione (circuito quasi resistivo).
Esempio 2 – Calcolo di un residuo
f(z) = 1 / (z² + 1).
Singolarità: z = i, z = −i.
Residuo in z = i:
lim (z → i) (z − i) f(z) = lim (z → i) (z − i) / (z² + 1) = 1 / (2i).
Integrale lungo una curva chiusa che racchiude z = i:
∮ f(z) dz = 2πi (1 / 2i) = π.
.png)
Commenti
Posta un commento