Corso di matematica propedeutica alla fisica: 11 – Equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE)

11. Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDE)

Introduzione rapida

Una PDE è un’equazione che coinvolge una funzione u = u(x,t,...) e derivate parziali rispetto a due o più variabili indipendenti (es.: spazio e tempo). Le PDE descrivono fenomeni fisici come diffusione del calore, propagazione delle onde, e potenziali elettrostatici.

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1) Classificazione (secondo ordine, lineare)

Considera la PDE lineare del secondo ordine in due variabili x,y:
A·u_xx + 2B·u_xy + C·u_yy + (termini di ordine inferiore) = 0

Definisci il discriminante:
D = B^2 − A·C

• Se D < 0 → PDE ellittica (es.: equazione di Laplace).

• Se D = 0 → PDE parabolica (es.: equazione del calore).

• Se D > 0 → PDE iperbolica (es.: equazione delle onde).

Nota: per PDE tempo-dipendenti usiamo convenzioni: equazione del calore (prima derivata nel tempo) è parabolica; equazione delle onde (seconda derivata nel tempo) è iperbolica.

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2) Equazione di Laplace (ellittica)

Forma: Δu = 0, cioè u_xx + u_yy = 0 (in 2D)

Problema tipico (BVP): su rettangolo 0<x<L, 0<y<H con condizioni di Dirichlet
u(0,y)=0, u(L,y)=0, u(x,0)=0, u(x,H)=f(x).

Metodo (separazione delle variabili)

Assumi u(x,y) = X(x)·Y(y). Sostituendo in u_xx + u_yy = 0:
X''(x)/X(x) + Y''(y)/Y(y) = 0 ⇒ X''/X = − Y''/Y = −λ

Quindi:

• X'' + λ X = 0

• Y'' − λ Y = 0

Con BC X(0)=X(L)=0 le soluzioni non banali corrispondono a:
λ_n = (nπ/L)^2, X_n(x) = sin(nπ x / L), n = 1,2,...

Y_n(y) = A_n sinh(nπ y / L) + B_n cosh(...). Imporre u(x,0)=0 elimina il termine cosh ⇒ Y_n(y) ∝ sinh(nπ y / L).

La soluzione generale (per f(x) al bordo y=H) è:
u(x,y) = Σ_{n=1}^∞ a_n · sin(nπ x / L) · [ sinh(nπ y / L) / sinh(nπ H / L) ]

dove i coefficienti a_n sono quelli della serie seno di f:
a_n = (2/L) ∫_0^L f(x) sin(nπ x / L) dx

Esempio (f(x)=V0 costante su y=H)

Calcolo a_n:

∫_0^L sin(nπ x / L) dx = (L/(nπ))·(1 − (−1)^n)

Quindi:
a_n = (2/L)·V0·(L/(nπ))·(1 − (−1)^n) = (2 V0)/(nπ)·(1 − (−1)^n)

Per n pari: (1 − (−1)^n)=0 → a_n=0. Per n dispari: (1 − (−1)^n)=2 → a_n = 4 V0/(nπ).

Soluzione finale (solo n dispari):
u(x,y) = Σ_{n odd} [ (4 V0)/(nπ) · sin(nπ x / L) · sinh(nπ y / L) / sinh(nπ H / L) ]

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3) Equazione del calore (parabolica)

1D: u_t = α · u_xx (α = diffusività termica >0)

Problema tipico (asta 0<x<L):

• BC (Dirichlet) u(0,t)=0, u(L,t)=0

• Condizione iniziale u(x,0)=f(x)

Metodo (separazione)

Assumi u(x,t) = X(x)·T(t).
Sostituzione ⇒ (1/α)·T'(t)/T(t) = X''(x)/X(x) = −λ

Si ottengono:
X'' + λ X = 0, T' + α λ T = 0

Con BC X(0)=X(L)=0 ⇒ λ_n = (nπ/L)^2, X_n(x)=sin(nπ x / L)

T_n(t) = exp(−α λ_n t) = exp(−α (nπ/L)^2 t)

Soluzione generale:
u(x,t) = Σ_{n=1}^∞ b_n · sin(nπ x / L) · exp(−α (nπ/L)^2 t)

Coefficienti b_n da condizione iniziale:
b_n = (2/L) ∫_0^L f(x) sin(nπ x / L) dx

Esempio semplice (f(x) = U0 · sin(π x / L))

Solo n=1 presente:
b_1 = U0, b_n=0 per n>1
Quindi
u(x,t) = U0 · sin(π x / L) · exp(−α (π/L)^2 t)

Esempio numerico

Sia L=1 m, α = 1·10^(−4) m^2/s, U0 = 1 (unità).
Calcoliamo il fattore di decadimento a t = 100 s:

• Calcolo λ_1 = (π/L)^2 = π^2 (poiché L=1)
  π^2 ≈ 9.869604401089358 (valore noto)

• α · λ_1 · t = 1·10^(−4) · 9.869604401089358 · 100
  = 1·10^(−4) · 100 · 9.869604401089358
  = 1·10^(−2) · 9.869604401089358
  = 0.09869604401089358

• exp(−0.09869604401089358) ≈ 0.906000... (calcolo esponenziale)
  (valore approssimato a 6 cifre: 0.906000)

Quindi dopo 100 s:
u(x,100) ≈ 0.906 · sin(π x)

Interpretazione: l’ampiezza è diminuita di ~9.4% in 100 s.

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4) Equazione delle onde (iperbolica)

1D: u_tt = c^2 · u_xx (c = velocità di propagazione)

Soluzione in spazio illimitato (d’Alembert)

Per −∞ < x < ∞:
u(x,t) = F(x − c t) + G(x + c t)

F e G determinate da condizioni iniziali:
u(x,0) = φ(x), u_t(x,0) = ψ(x)
Allora
F(x) = (1/2) φ(x) + (1/(2c)) ∫^x ψ(s) ds
G(x) = (1/2) φ(x) − (1/(2c)) ∫^x ψ(s) ds

Soluzione in asta 0<x<L con estremi fissati (modal expansion)

Se u(0,t)=u(L,t)=0, si usa separazione:
X'' + λ X = 0, T'' + c^2 λ T = 0
Condizioni → λ_n = (nπ/L)^2, modali ω_n = c nπ/L

Soluzione:
u(x,t) = Σ_{n=1}^∞ [ A_n cos(ω_n t) + B_n sin(ω_n t) ] · sin(nπ x / L)

Coefficienti A_n, B_n da condizioni iniziali:
A_n = (2/L) ∫_0^L φ(x) sin(nπ x / L) dx
B_n = (2/(ω_n L)) ∫_0^L ψ(x) sin(nπ x / L) dx

Esempio semplice

Se φ(x) = sin(π x / L) e ψ(x)=0:
A_1 = 1, A_n=0 (n≠1), B_n=0 ⇒
u(x,t) = cos(ω_1 t) · sin(π x / L) con ω_1 = c π / L

Esempio numerico

Sia L = 1 m, c = 100 m/s:
ω_1 = c π / L = 100 · π ≈ 314.1592653589793 rad/s
Quindi la soluzione è oscillazione armonica a 314.159 rad/s.

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5) Metodo generale di separazione delle variabili (passi)

1. Scrivi PDE e condizioni (BC e IC).

2. Assumi soluzione separabile: u(x,t) = X(x) T(t) (o in più dimensioni: X(x)Y(y)T(t)).

3. Sostituisci nella PDE e dividi per X·T per isolare funzioni di x e t.

4. Ottieni uguaglianza a una costante −λ (separazione).

5. Risolvi gli ODE risultanti con le condizioni al contorno → si ottengono autovalori λ_n e autovettori/eigenfunzioni X_n.

6. La soluzione generale è una combinazione (serie) delle modalità X_n con coefficienti temporali T_n(t).

7. Determina i coefficienti dalla condizione iniziale usando serie di Fourier (calcolo integrale per b_n, A_n, B_n).

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6) Tipi di condizioni al contorno (importante)

• Dirichlet: u = valore imposto alla frontiera (p.es. estremi fissi).

• Neumann: ∂u/∂n = valore imposto (flusso o isolamento).

• Robin (misto): a u + b ∂u/∂n = g (condizione combinata).

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7) Applicazioni fisiche (collegamenti)

• Propagazione del suono: equazione delle onde per la pressione p(x,t); c dipende dall’aria (circa 343 m/s a 20°C).

• Distribuzione della temperatura: equazione del calore con α = k/(ρ c_p) (k conducibilità, ρ densità, c_p capacità termica).

• Potenziale elettrico: problema elettrostatico senza cariche locali → Laplace ΔΦ = 0; con cariche → Poisson ΔΦ = −ρ/ε0.

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8) Esempi

A) Heat equation

<h3>Equazione del calore (esempio)</h3>
<p>Asta 0&lt;x&lt;L con estremi a temperatura zero e condizione iniziale u(x,0)=U0·sin(pi x / L).</p>

<pre><code>
Soluzione:
u(x,t) = U0 * sin(pi x / L) * exp( - alpha * (pi/L)^2 * t )

Esempio numerico:
L = 1 m, alpha = 1e-4 m^2/s, U0 = 1
lambda1 = (pi / L)^2 = pi^2 ≈ 9.869604401089358
decay = alpha * lambda1 * t = 1e-4 * 9.869604401089358 * 100 = 0.09869604401089358
u(x,100) = 1 * sin(pi x) * exp(-0.09869604401) ≈ 0.906 * sin(pi x)
</code></pre>

B) Wave equation

<h3>Equazione delle onde (esempio)</h3>
<p>Funzione iniziale phi(x)=sin(pi x / L), velocita' iniziale psi(x)=0, estremi fissati.</p>

<pre><code>
Soluzione:
u(x,t) = cos(omega1 * t) * sin(pi x / L)
omega1 = c * pi / L

Esempio numerico:
L = 1 m, c = 100 m/s
omega1 = c * pi / L = 100 * pi ≈ 314.1592653589793 rad/s
</code></pre>

C) Laplace

<h3>Equazione di Laplace (esempio)</h3>
<p>Rettangolo 0&lt;x&lt;L, 0&lt;y&lt;H, con u=0 su tre lati e u(x,H)=V0.</p>

<pre><code>
Soluzione:
u(x,y) = sum_{n odd} [ (4 V0)/(n pi) * sin(n pi x / L) * sinh(n pi y / L) / sinh(n pi H / L) ]

Esempio: si sommano le prime N modalita' per ottenere approssimazione numerica.
</code></pre>