Corso di Applicazioni e Progetti Matematici: Modellazione Matematica in Economia Fisica Biologia e Informatica

🔢 Modellazione Matematica in Economia, Fisica, Biologia e Informatica

🎯 Obiettivi formativi

• Introdurre la modellazione matematica come linguaggio trasversale che permette di descrivere, prevedere e controllare fenomeni complessi.
• Mostrare come la stessa struttura matematica possa applicarsi a settori molto diversi.
• Sviluppare competenze nel costruire, leggere e interpretare modelli matematici semplici, con esempi reali.

---

📚 Contenuti

💰 Economia – Modelli decisionali e di crescita

• Modello esponenziale e logistico della crescita economica (PIB, inflazione)
• Teoria dei giochi: il dilemma del prigioniero, strategie vincenti nei mercati
• Modelli di consumo e investimento con equazioni differenziali o ricorsive

📌 Esempio:
La crescita di un fondo pensione può essere modellata con:

A(t) = A₀e^{rt}
dove A₀ è il capitale iniziale e r il tasso d’interesse.

---

⚛️ Fisica – Dinamiche e meccanica statistica

• Equazioni differenziali per il moto: pendolo, carica di un condensatore, oscillazioni smorzate
• Modelli stocastici: diffusione, gas ideali, distribuzioni di probabilità

📌 Esempio:
L’equazione del moto per un oggetto soggetto a forza elastica e attrito:

m·x'' + b·x' + k·x = 0

---

🧬 Biologia – Popolazioni ed epidemie

• Modello di Malthus (crescita esponenziale): P(t) = P₀e^{rt}
• Modello di Verhulst (crescita logistica): P(t) = K / (1 + (K - P₀)/P₀ · e^{-rt})
• Modello SIR per epidemie:

  dS/dt = -βSI
  dI/dt = βSI - γI
  dR/dt = γI

📌 Esempio:
Durante un'epidemia influenzale, i modelli SIR possono prevedere il picco dei contagi in base al tasso di trasmissione β e guarigione γ.

---

💻 Informatica – Algoritmi e reti

• Algoritmi ricorsivi e loro complessità (es. Fibonacci, ordinamento)
• Modelli di rete: grafi, reti neurali, reti sociali
• Teoria dell’informazione: entropia di Shannon, compressione dei dati

📌 Esempio:
Il numero di operazioni richieste da un algoritmo di ordinamento può essere modellato come:

T(n) = n·log₂(n)

---

🧪 Attività pratiche

• 👨‍🏫 Laboratorio interdisciplinare: gli studenti costruiscono un modello per ogni disciplina, usando dati reali o simulati
• 💻 Simulazioni con software (Excel, GeoGebra, Python, NetLogo…)
• 📈 Interpretazione dei grafici: previsione dei comportamenti futuri, verifica della stabilità dei sistemi
• 🧠 Analisi critica: quali ipotesi sottostanno ai modelli? Quando falliscono?

---

🧠 Test di verifica

1. Un’epidemia ha un tasso di contagio β = 0.2 e un tasso di guarigione γ = 0.1. Cosa ci dice il valore R₀ = β/γ?

• A. Che la malattia non si diffonde
• B. Che ogni malato contagia mediamente 2 persone ✅
• C. Che l’epidemia è già finita
• D. Che il modello non è valido

---

2. Quale dei seguenti modelli meglio descrive un mercato saturo?

• A. Crescita esponenziale
• B. Decadimento logaritmico
• C. Crescita logistica ✅
• D. Nessuno dei precedenti

---

3. Se una rete informatica è rappresentata come grafo, cosa indica un “nodo con grado elevato”?

• A. Un algoritmo lento
• B. Una connessione diretta con molti altri nodi ✅
• C. Una riduzione dell’entropia
• D. Una perdita di dati

---

4. L’equazione F = ma rappresenta un modello…

• A. Lineare e deterministico ✅
• B. Non lineare e probabilistico
• C. Ricorsivo
• D. Caotico

---

5. Perché usiamo equazioni differenziali nella modellazione fisica?

• A. Per risolvere sistemi informatici
• B. Per simulare eventi casuali
• C. Per descrivere l’evoluzione nel tempo di quantità fisiche ✅
• D. Per calcolare tassi di errore

---

🧭 Conclusione

La modellazione matematica è una lente universale che consente di analizzare, semplificare e prevedere comportamenti reali in ogni campo del sapere.
Saper costruire un buon modello significa capire davvero ciò che si osserva.

---

🔎 Vuoi anche il codice per Blogger di questo modulo? Posso fornirlo in un formato già pronto per la pubblicazione.