Diamo i Numeri

Ehi, benvenut* nel Luna Park dei Numeri! 🎡

Niente formule indigeribili all’ingresso: oggi facciamo un giro tra giostre, stand e giochi dove i numeri parlano, cambiano vestito, si travestono da lucine di computer e perfino ballano sul palco dei piani complessi. La matematica può essere ostica? Sì. Ma con la guida giusta diventa una storia da raccontare a cena.

🌱 Dalla pecora allo smartphone: viaggio negli insiemi numerici

🟢 Naturali (ℕ): il primo biglietto d’ingresso

All’inizio erano 0, 1, 2, 3, …. I numeri naturali nascono quando qualcuno deve contare cose concrete: pecore, anfore, passi. Sono la contabilità della vita quotidiana: l’età, il numero civico, il contapassi che dice “oggi 7 432!”.

Con i naturali impari le operazioni base: somma, sottrazione (finché non vai sotto zero), moltiplicazione (che è una somma veloce).

🎒 Esempio lampo: quanti giorni mancano alla fine del mese?

Se il mese ha 30 giorni e oggi è il 18, fai 30 − 18 = 12. Naturale, appunto.

💡 Mini trucco: lo 0 non “conta” cose, ma segna l’assenza. È il posto vuoto in fila: fondamentale per scrivere numeri lunghi (prova a immaginare 100 senza lo 0!)

🔵 Interi (ℤ): arrivano i… sottozero!

La vita non è solo guadagni: ci sono debiti e temperature sotto lo zero. Ecco perché servono i numeri interi: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Qui impari il segno: positivo/negativo, e l’idea di opposto (il contrario di +7 è −7). Sul termometro lo vedi bene: scendi sotto lo zero, poi risali.

🏦 Esempio lampo: hai −200 € sul conto. Quanti te ne servono per tornare a zero? +200 € (stai “annullando” il debito con il suo opposto).

🧭 Linea dei numeri: immagina un viale infinito con lo 0 al centro. A destra i positivi, a sinistra i negativi. Muoversi è solo questione di passi.

🟣 Razionali (ℚ): le fette di torta

La realtà non si lascia mettere in fila con i soli interi. Entra in scena la frazione: ½, ¾, 2/5… cioè un pezzo di qualcosa. I numeri razionali sono tutte le frazioni (in forma semplificata o nascosta in un decimale).

Decimali finiti: 0,75 = 3/4
Decimali periodici: 0,333… = 1/3

🍰 Esempio lampo: torta in 8 fette. Quanto vale 5/8? È 5 fette su 8, cioè 0,625 (se pesi ogni fetta, stai facendo scienza applicata!).

🪄 Due magie utili:

Ridurre 6/8 → 3/4 (dividi sopra e sotto per 2).
Percentuali: 3/4 = 0,75 = 75%. In cucina e sconti saldi, ti salva la serata.

🔶 Reali (ℝ): la linea continua

I reali mettono insieme razionali e irrazionali: numeri che non sono frazioni, con decimali infiniti non periodici. Esempi celebri: √2, π, e.

Immagina la linea dei numeri come una strada senza buchi: i reali la pavimentano tutta.

🟠 Esempio lampo: perimetro di un cerchio di raggio 5 cm.

Formula: 2πr ≈ 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.

Senza π (irrazionale) i cerchi non parlerebbero con precisione!

💬 Perché servono? Misure, fisica, grafici continui, suoni… il mondo analogico si esprime in ℝ.

🧪 Complessi (ℂ): quando i numeri scoprono la terza dimensione (quasi)

Un giorno qualcuno chiese: “Che numero elevato al quadrato fa −1?”. Gli interi e i reali scossero la testa. Allora nacque i, con i² = −1.

Un numero complesso è a + bi (parte reale a, parte immaginaria b). Non è fantascienza: in elettronica, onde, grafica, sono pane quotidiano.

🎯 Vedi per credere: il piano di Argand è un foglio con due assi:

orizzontale = parte reale,
verticale = parte immaginaria.
Il numero 3 + 4i è il punto (3, 4). La sua “distanza” dall’origine (il modulo) è √(3² + 4²) = 5. L’angolo con l’asse reale (l’argomento) è circa 53,13°.
Addizioni? Facili: (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i (sommi reali con reali, immaginari con immaginari).

💡 Perché piacciono agli ingegneri? Perché moltiplicare complessi somma gli angoli e moltiplica i moduli: perfetto per descrivere onde e rotazioni.

🔢 Parlare in altre lingue: i sistemi di numerazione

I numeri non cambiano, cambia il loro modo di scriversi. Come dire “ciao” in italiano, “hello” in inglese: il concetto è lo stesso.

🟨 Decimale (base 10): la lingua madre

È il sistema “a dita”: dieci simboli 0–9. È posizionale: 245 = 2×10² + 4×10¹ + 5×10⁰.

Ogni posizione vale dieci volte la precedente.

⬛ Binario (base 2): l’alfabeto dei computer

I computer amano la chiarezza: passa corrente (1) / non passa (0).

Ecco perché usano solo 0 e 1.

Esempio: 1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀.

🔌 Perché è geniale? È robusto al rumore: o c’è segnale o non c’è. Niente sfumature ambigue.

🟪 Esadecimale (base 16): il cappotto elegante del binario

Per accorciare stringhe binarie lunghissime, si usa la base 16:

0–9, A, B, C, D, E, F (dove A=10, …, F=15).

Ogni cifra esadecimale corrisponde a 4 bit (un nibble).

Esempi famosi: colori (#FF0000 è rosso pieno), indirizzi di memoria, codici macchina.

🧩 Tabellina flash (0–15):

0=0000, 1=0001, 2=0010, 3=0011, 4=0100, 5=0101, 6=0110, 7=0111, 8=1000, 9=1001, A=1010, B=1011, C=1100, D=1101, E=1110, F=1111.

🔧 Conversioni senza mal di testa

Decimale → Binario (metodo delle divisioni per 2)

Dividi il numero per 2, annota il resto (0 o 1).
Continua con il quoziente finché diventa 0.
Leggi i resti dal basso verso l’alto.

🧪 Esempio 13₁₀:

13÷2=6 r1; 6÷2=3 r0; 3÷2=1 r1; 1÷2=0 r1 → 1101₂.

Binario → Decimale (valore posizionale)

Somma le potenze di 2 “accese” (cioè dove c’è 1).

101010₂ = 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰

= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42₁₀.

Decimale ↔ Esadecimale

Dec → Hex: divisione per 16, resti in notazione 0–F.
Hex → Dec: posizionale in base 16.
A5₁₆ = 10×16¹ + 5×16⁰ = 160 + 5 = 165₁₀.

Hex ↔ Binario (il più comodo!)

Sostituisci ogni cifra hex con 4 bit.

A3₁₆ → A=1010, 3=0011 → 1010 0011₂.

🎮 Allenamenti narrativi (impara facendo)

🟡 Attività 1 – “La valigia dei sistemi”

Hai 60 secondi per “fare la valigia” del numero giusto nella lingua giusta.

Consegna: converti tra decimale e binario (e viceversa):

14₁₀ → ?₂
1100₂ → ?₁₀
255₁₀ → ?₂
101010₂ → ?₁₀

(Soluzioni in fondo, promesso!)

👉 Consiglio cronometro: punta prima ai multipli di 2 che riconosci (8, 16, 32…): ti guidano come cartelli stradali.

🟢 Attività 2 – “Quadretti complessi”

Disegna un piano cartesiano (x = parte reale, y = parte immaginaria). Segna i punti:

2 + 3i, −1 + 4i, −3 − 2i, 0 + 5i.
Unisci ogni punto all’origine: ecco i vettori complessi. Calcola i moduli:
|2+3i| = √(4+9) = √13
|−1+4i| = √(1+16) = √17
|−3−2i| = √(9+4) = √13
|0+5i| = 5

🎯 Bonus: qual è l’angolo (approssimato) di −1 + 4i?

tan θ = 4/−1 → θ ≈ 104° (secondo quadrante).

🔵 Attività 3 – “Il gioco dei sistemi”

Gioco a squadre: ognuno riceve un numero decimale. Entro 30 s:

scrivilo in binario, 2) poi in esadecimale.
Punti extra se spieghi come l’hai fatto (divisioni o gruppi da 4 bit).
💬 Slogan del coach: “Niente panico, solo potenze di 2!”

🧩 Esempi pratici “wow!”

Colori web: #FFCC00 significa R=255, G=204, B=0 (ognuno è un byte in hex).
Memoria: 1 byte = 8 bit. Un carattere come “A” è 01000001₂ = 41₁₆.
Contatori binari: 0,1,10,11,100… (salgono come il contachilometri, ma a base 2).
Sensori e suoni: un microfono campiona numeri reali; il computer li converte in numeri (digitali) — e torniamo ai sistemi di numerazione.

❗️Errori tipici (e come evitarli)

Confondere base e valore: 1010₂ non è “mille dieci”, è 10₁₀.
Dimenticare gli zeri a sinistra nel binario quando converti da hex: F = 1111, non “111”.
Semplificare male le frazioni: controlla sempre se puoi dividere sia numeratore sia denominatore per lo stesso numero.
Segno nei complessi: in (a + bi) somma reali con reali, immaginari con immaginari.

🧪 Test di verifica (con soluzioni in fondo)

1. Qual è la differenza tra ℕ e ℤ?

a) ℕ include anche i negativi

b) ℤ include i negativi

c) ℤ è solo per numeri razionali

d) Nessuna differenza

2. Quanto vale 1010₂ in decimale?

a) 12

b) 10

c) 8

d) 6

3. Quale tra questi numeri è irrazionale?

a) ¾

b) 0,25

c) √2

d) 2/3

4. Che numero è A5₁₆ in decimale?

a) 165

b) 175

c) 245

d) 210

5. Qual è il risultato della somma tra (3 + 2i) e (1 + 4i)?

a) 4 + 6i

b) 3 + 6i

c) 4 + 2i

d) 5 + 6i

✅ Soluzioni del test

b — ℤ contiene anche i numeri negativi, ℕ no.
b — 1010₂ = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 10.
c — √2 ha decimali infiniti non periodici.
a — A5₁₆ = 10×16 + 5 = 165.
a — (3+2i) + (1+4i) = 4+6i.

🎁 Soluzioni attività (per controllarti dopo aver provato)

Attività 1:

14₁₀ → 1110₂
1100₂ → 12₁₀ (8 + 4)
255₁₀ → 11111111₂
101010₂ → 42₁₀ (32 + 8 + 2)

Attività 2: (riepilogo moduli)

|z|: √13, √17, √13, 5. Angoli coerenti coi quadranti:

(2+3i) ≈ 56,3°, (−1+4i) ≈ 104°, (−3−2i) ≈ −146,3°, (0+5i)=90°.

🧭 Mappa mentale finale (ripasso in 20 secondi)

ℕ → ℤ → ℚ → ℝ → ℂ: ogni insieme contiene il precedente e aggiunge nuove possibilità.
Decimale/Binario/Hex: stesso numero, tre lingue. Binario per i computer, hex per leggere il binario senza impazzire.
Conversioni: divisioni per 2/16, valore posizionale, gruppi da 4 bit.
Complessi: numeri come punti/vettori; sommi coordinate, moltiplichi come rotazioni e scale.

Cerca nel blog

PER UNA GAIA SCIENZA

Corso di Fondamenti di Matematica e Logica: 1 I Numeri e i Sistemi di Numerazione