Corso di Meccanica: Dinamica Lavoro ed Energia Cinetica

Lavoro ed Energia Cinetica

Il lavoro è la quantità scalare che misura l'energia trasferita da una forza quando essa agisce su un oggetto che si sposta. L'energia cinetica è l'energia posseduta da un corpo in virtù del suo moto.

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1) Definizioni fondamentali

Lavoro di una forza costante
Per una forza costante F applicata e uno spostamento d, con θ angolo tra direzione di F e direzione dello spostamento:

W = F * d * cos(θ)

(Unità: 1 joule = 1 N·m)

Lavoro di una forza variabile
Se la forza varia lungo il percorso, il lavoro è l'integrale lungo la traiettoria C:

W = ∫_C F · ds = ∫_{s1}^{s2} F(s) cos(θ(s)) ds

Energia cinetica (K)

K = (1/2) * m * v^2

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2) Teorema del lavoro e dell'energia cinetica

Il teorema afferma:

W_netto = ΔK = K_finale - K_iniziale

Questo significa che il lavoro netto compiuto da tutte le forze che agiscono su una particella è uguale alla variazione della sua energia cinetica.

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3) Forze conservative e potenziale

Una forza è conservativa se il lavoro compiuto su un percorso chiuso è zero e il lavoro dipende solo dagli stati iniziale e finale. Esempi: forza di gravità, forza elastica ideale.

Lavoro della gravità (spostamento verticale):

W_g = - m * g * Δh

(segno negativo se il corpo viene sollevato)

Forza elastica (legge di Hooke):

F_spring = - k * x

Energia potenziale elastica:

U_s = (1/2) * k * x^2

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4) Potenza

Potenza media P_media = W / Δt

Potenza istantanea (forza costante o generale):

P = F · v

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5) Diagramma esplicativo (forza e spostamento)

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6) Esempi ed esercizi svolti

Esercizio 1 — Forza costante parallela allo spostamento (moto su piano)

Enunciato: Una forza costante F = 40 N applicata orizzontalmente spinge un corpo di massa m = 5.0 kg per una distanza d = 10 m. L'angolo θ = 0°. Calcolare il lavoro svolto, l'accelerazione e la velocità finale partendo da fermo.

Soluzione:

1. Work: W = F * d * cos(θ) = 40 * 10 * cos 0° = 400 J.
2. Dal teorema lavoro-energia: W_netto = ΔK = (1/2) m v^2 - 0 ⇒ v^2 = 2W / m ⇒ v = sqrt(2*400 / 5) = sqrt(160) ≈ 12.649 m/s.
3. Accelerazione costante: F = m * a ⇒ a = F/m = 40 / 5 = 8.0 m/s². Controllo: usando v^2 = 2 a d ⇒ v = sqrt(2 * 8 * 10) = sqrt(160) ≈ 12.649 m/s (coerente).

Risposte: W = 400 J; a = 8.0 m/s²; v_finale ≈ 12.65 m/s.

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Esercizio 2 — Forza a 30° rispetto allo spostamento

Enunciato: Una forza F = 50 N è applicata con angolo θ = 30° rispetto alla direzione dello spostamento d = 6 m. Calcolare il lavoro svolto.

Soluzione:

W = F * d * cos(θ) = 50 * 6 * cos 30° = 300 * 0.8660254 ≈ 259.8076 J.

Risposta: W ≈ 259.81 J.

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Esercizio 3 — Lavoro della forza peso su un dislivello

Enunciato: Sollevi un masso di massa m = 12 kg di Δh = 2.5 m verticalmente. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso e il lavoro che bisogna compiere per sollevare il masso (trascurare attriti).

Soluzione:

1. Lavoro della forza peso (forza peso diretta verso il basso): W_gravità = - m * g * Δh = - 12 * 9.81 * 2.5 = - 12 * 24.525 = - 294.3 J.
2. Il lavoro che devi compiere per sollevarlo (contro la gravità) è W_opposto = +294.3 J.

Risposta: Lavoro gravità = -294.3 J; lavoro fornito = +294.3 J.

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Esercizio 4 — Lavoro di una forza variabile: F(x) = k * x

Enunciato: Una forza variabile F(x) = α * x (lineare in x) agisce lungo l'asse x. Calcolare il lavoro per spostare il punto da x = 0 a x = x1. Applica il risultato al caso α = 80 N/m e x1 = 0.25 m.

Soluzione teorica:

W = ∫_0^{x1} F(x) dx = ∫_0^{x1} α x dx = α * (1/2) * x1^2 = (1/2) α x1^2.

Applicazione numerica: α = 80 N/m, x1 = 0.25 m ⇒ W = 0.5 * 80 * (0.25)^2 = 40 * 0.0625 = 2.5 J.

Risposta: W = 2.5 J.

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Esercizio 5 — Molla (forza elastica) e lavoro

Enunciato: Una molla con costante k = 200 N/m viene compressa di x = 0.04 m. Calcolare il lavoro necessario per comprimere la molla e l'energia immagazzinata.

Soluzione:

1. Lavoro (forza variabile): W = ∫_0^{x} k x' dx' = (1/2) k x^2 = 0.5 * 200 * (0.04)^2.
2. Calcolo: (0.04)^2 = 0.0016 → 0.5 * 200 * 0.0016 = 100 * 0.0016 = 0.16 J.
3. Energia immagazzinata (uguale al lavoro fatto): U = 0.16 J.

Risposta: W = U = 0.16 J.

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Esercizio 6 — Attrito e lavoro dissipativo

Enunciato: Una scatola di massa 8 kg viene trascinata su un piano orizzontale per d = 12 m con attrito μ_k = 0.25. Calcola il lavoro svolto dalla forza di attrito e quanto lavoro netto rimane se si applica una forza orizzontale F_app = 50 N.

Soluzione:

1. Forza normale: N = m * g = 8 * 9.81 = 78.48 N.
2. Forza di attrito: F_attr = μ_k * N = 0.25 * 78.48 = 19.62 N.
3. Lavoro della forza di attrito (oppone lo spostamento): W_attr = - F_attr * d = - 19.62 * 12 = -235.44 J.
4. Lavoro della forza applicata: W_app = F_app * d = 50 * 12 = 600 J.
5. Work netto: W_netto = W_app + W_attr = 600 - 235.44 = 364.56 J.
6. ΔK = W_netto = 364.56 J → se parte da fermo, v = sqrt(2 * ΔK / m) = sqrt(2 * 364.56 / 8) = sqrt(91.14) ≈ 9.545 m/s.

Risposte: W_attr = -235.44 J; W_netto = 364.56 J; v_finale ≈ 9.55 m/s.

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7) Dimostrazione (veloce) del teorema lavoro-energia

Partendo dalla seconda legge di Newton in forma differenziale: F = m * a = m * dv/dt. Il lavoro elementare su uno spostamento ds è dW = F · ds. Ma ds = v dt, quindi:

dW = F · v dt = m (dv/dt) v dt = m v dv

Integrando da v_i a v_f:

W = ∫_{v_i}^{v_f} m v dv = (1/2) m v_f^2 - (1/2) m v_i^2 = ΔK

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8) Tabelle di riferimento e riepilogo formule

Grandezza	Espressione	Unità
Lavoro da forza costante	W = F * d * cos(θ)	J (N·m)
Lavoro da forza variabile	W = ∫ F · ds	J
Energia cinetica	K = (1/2) m v^2	J
Teorema lavoro-energia	W_netto = ΔK	J
Potenza istantanea	P = F · v	W (J/s)
Energia potenziale gravitazionale	U_g = m g h	J
Energia potenziale elastica	U_s = (1/2) k x^2	J

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9) Esercizi proposti (con soluzione breve)

1. Proposto: Un carrello di 2 kg viene tirato lungo 5 m con una forza costante 12 N inclinata di 20° rispetto all'orizzontale. Trascurare attrito. Calcola lavoro e velocità finale se parte da fermo.
   Soluzione rapida: W = F d cos20° = 12*5*0.9397 ≈ 56.38 J. v = sqrt(2W/m) = sqrt(56.38) ≈ 7.51 m/s.
2. Proposto: Una molla k = 500 N/m viene allungata di 0.02 m e poi rilasciata per accelerare una massa m = 0.1 kg. Calcola energia immagazzinata e v_max.
   Soluzione rapida: U = 0.5*500*(0.02)^2 = 0.5 * 500 * 0.0004 = 0.1 J. v_max = sqrt(2 U / m) = sqrt(2*0.1/0.1) = sqrt(2) ≈ 1.414 m/s.
3. Proposto: Forza variabile F(x) = 100 - 20 x (N) per 0 ≤ x ≤ 3 m. Calcola il lavoro totale.
   Soluzione rapida: W = ∫_0^3 (100 - 20x) dx = [100x - 10 x^2]_0^3 = 300 - 90 = 210 J.

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10) Note didattiche e suggerimenti per lo studio

• Per esercitarsi: risolvi molti problemi con forze costanti e variabili; pratica gli integrali per il lavoro di forze che dipendono da x.
• Quando compare attrito, distingui il lavoro delle forze conservative (che immagazzinano energia potenziale) da quello delle forze dissipative (che riducono l'energia meccanica totale).
• Controllo delle unità: sempre verificare N, m, s per evitare errori numerici.