Corso di Algebra Avanzata Teoria dei Codici e Crittografia: 1 Algebra Astratta Avanzata


📘 Algebra Astratta Avanzata

Obiettivi del modulo:

  • 🧠 Approfondire le strutture algebriche fondamentali in matematica astratta
  • 🧩 Comprendere proprietà e applicazioni di gruppi, anelli e campi

🔷 Contenuti teorici

  • 🔹 Gruppi: definizione assiomatica, gruppi abeliani, sottogruppi, gruppi ciclici, ordine di un elemento
  • 🔹 Anelli: strutture con due operazioni, anelli commutativi, anelli con unità, anelli integrali
  • 🔹 Campi: strutture in cui ogni elemento non nullo è invertibile, campi finiti, campi razionali, reali e complessi
  • 🔹 Omomorfismi e isomorfismi: struttura-preservanti tra insiemi algebrici, nucleo e immagine

🔍 Approfondimenti

  • 📐 Teorema di Lagrange e applicazioni
  • 📊 Gruppi simmetrici Sₙ: permutazioni e composizione
  • 🌀 Gruppi di rotazioni (es. SO(2), SO(3)) nelle simmetrie geometriche
  • 🔢 Utilizzo dei campi finiti in crittografia (es. campo GF(2ⁿ))

🛠️ Attività pratiche

  • 🧮 Classificare sottogruppi di ℤ₁₂
  • 🔍 Verificare se un dato insieme con operazioni forma un anello
  • 🔗 Trovare e analizzare omomorfismi tra gruppi dati (es. ℤ → ℤ₆)
  • 📐 Costruire il gruppo di rotazioni di un triangolo equilatero

📌 Conclusione

L’algebra astratta è uno strumento essenziale per comprendere la struttura profonda dei sistemi matematici. Questo modulo fornisce le basi per affrontare corsi successivi in algebra computazionale, geometria algebrica e teoria dei numeri, oltre a offrire solide competenze utili in informatica teorica e crittografia.

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