Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 7 Algebra Lineare

📐 Algebra Lineare

🎯 Obiettivi

• Comprendere concetti fondamentali come vettori, spazi vettoriali e trasformazioni lineari.
• Apprendere il legame tra algebra e geometria.
• Intuire come l’algebra lineare modelli problemi reali (grafica, IA, robotica).
• Allenare il pensiero visivo attraverso rappresentazioni e animazioni.

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📚 Contenuti del modulo

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🧭 1. Vettori

• Un vettore è una freccia con modulo (lunghezza), direzione e verso.
  In : un vettore è rappresentato da una coppia ordinata .

✏️ Operazioni:

• Somma: somma componente per componente
  
• Moltiplicazione per scalare: allunga o accorcia il vettore
  
• Norma (lunghezza):
  

📘 Esempio: Dati e ,

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🏢 2. Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale è un insieme di vettori chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalare.

🔑 Concetti:

• Combinazione lineare: somma pesata di vettori
  
• Base: insieme minimo di vettori linearmente indipendenti che generano tutto lo spazio
• Dimensione: numero di vettori in una base (es: ha dimensione 2)

📘 Esempio: I vettori e sono base canonica di

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🔄 3. Trasformazioni lineari

Una trasformazione lineare è una funzione che trasforma i vettori rispettando somma e moltiplicazione.

🧮 Viene rappresentata da una matrice .
La trasformazione è

💫 Esempi classici:

• Rotazione di :
  
• Riflessione sull’asse x:
  
• Dilatazione o compressione lungo un asse

📘 Esempio pratico: Applichiamo la matrice di riflessione sull’asse x a :

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🧠 4. Applicazioni concrete

👾 Grafica computerizzata

• I vettori rappresentano coordinate, le matrici controllano movimenti, rotazioni, scalature.
• Le trasformazioni lineari permettono di creare animazioni e modellare scene 2D e 3D.

🧠 Intelligenza artificiale

• I dati (immagini, parole) sono rappresentati come vettori in spazi multidimensionali.
• Le reti neurali operano tramite moltiplicazioni di matrici e vettori (pesi, attivazioni).

⚙️ Sistemi dinamici

• Lo stato di un sistema può essere rappresentato da un vettore.
• Le trasformazioni lineari modellano l’evoluzione nel tempo (es. movimenti, economia, robotica).

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🛠️ Attività pratiche

✏️ 1. Rappresentazione grafica di vettori

• Disegna a mano o in GeoGebra vettori su un piano cartesiano:
  • ,
  • Calcola e disegna: , ,

📌 Obiettivo: visualizzare direzione e modulo, somma vettoriale e scalatura.

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🖱️ 2. Animazione vettoriale semplice

Usando GeoGebra, Desmos o Scratch:

• Crea un oggetto (freccia, punto) che si muove nel piano seguendo un vettore di spostamento.
• Simula:
  • Un movimento circolare (usando rotazioni)
  • Una riflessione lungo un asse

📌 Obiettivo: collegare algebra lineare e animazione dinamica.

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✅ Test di verifica finale

1. La norma di è:
a) 5
b) 7
c) 1
d)

2. Quale tra questi insiemi è uno spazio vettoriale su ?
a) I numeri interi
b) I numeri primi
c) I vettori in
d) I numeri negativi

3. La matrice di rotazione di 90° in senso antiorario è:
a)
b)
c)
d) Sia a) che c)

4. Una trasformazione lineare conserva sempre:
a) Angoli
b) Lunghezze
c) Origine e combinazioni lineari
d) Colori

5. Le reti neurali usano l’algebra lineare per:
a) Contare neuroni
b) Ordinare i dati
c) Rappresentare dati e calcolare attivazioni
d) Produrre immagini

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✔️ Soluzioni

1. a
2. c
3. d
4. c
5. c

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🧭 Conclusione

L'algebra lineare non è solo una teoria astratta, ma una chiave per leggere e costruire il mondo digitale e fisico: dalle immagini ai robot, dai videogiochi all’AI. Saperla usare trasforma il pensiero astratto in azione concreta.