Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 3 Matrici e Determinanti


🧮 Matrici e Determinanti – dalla teoria alla pratica

Matrici e determinanti non sono strumenti astratti: ci permettono di modellizzare sistemi complessi e risolvere problemi concreti in economia, fisica, informatica e statistica. In questa trattazione uniremo concetti teorici a esempi pratici passo-passo.

🎯 Obiettivi formativi

  • Acquisire familiarità con il concetto di matrice e le operazioni fondamentali
  • Comprendere il ruolo dei determinanti nei sistemi lineari
  • Applicare le matrici alla risoluzione di problemi reali
  • Sviluppare capacità di modellizzazione e calcolo strutturato

🔢 1. Definizione di Matrice

Una matrice è una tabella ordinata di numeri disposti in righe e colonne. Serve a rappresentare dati, trasformazioni e sistemi di equazioni lineari.

Notazione: Una matrice A di dimensione m × n (m righe, n colonne) si scrive:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \]

dove aᵢⱼ è l’elemento alla riga i, colonna j.

📋 2. Tipi di Matrici

  • Quadrata: stesso numero di righe e colonne (n × n)
  • Riga / Colonna: una sola riga o colonna
  • Diagonale: tutti gli elementi non diagonali sono nulli
  • Identità: matrice quadrata con 1 sulla diagonale e 0 altrove (Iₙ)
  • Trasposta: si ottiene scambiando righe e colonne (Aᵗ)

Nota: La matrice identità è l’equivalente numerico dell’1: \(A \cdot I = A\)

➕ 3. Operazioni con le Matrici

  • Somma e differenza: solo tra matrici di stessa dimensione, elemento per elemento
  • Prodotto per uno scalare: ogni elemento moltiplicato per un numero reale
  • Prodotto tra matrici: se A è m×n e B è n×p, il risultato è m×p. Si sommano i prodotti riga × colonna. Non commutativo: \(A \cdot B \neq B \cdot A\)
  • Trasposta (Aᵗ): utile in geometria, fisica, statistica (covarianza)
  • Inversa (A⁻¹): solo per matrici quadrate non singolari. A·A⁻¹ = I → fondamentale per risolvere sistemi lineari

🔷 4. Determinante

Il determinante è un numero associato a una matrice quadrata. Indica se la matrice è invertibile e misura area, volume o spazio “generato” dalla matrice.

Determinante 2×2

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \det(A) = ad - bc \]

Determinante 3×3 (regola di Sarrus)

\[ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad \det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \]

Proprietà principali

  • det(I) = 1
  • det(A·B) = det(A)·det(B)
  • Se det(A) = 0 → matrice singolare, non invertibile
  • Se triangolare (superiore o inferiore) → det(A) = prodotto elementi diagonali

🔍 5. Metodo di Cramer – esempio pratico

Vendita di quaderni (x) e penne (y):

\[ \begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x + 2y = 11 \end{cases} \]

Matrice dei coefficienti:

\[ A = \begin{pmatrix}2 & 1\\3 & 2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}5\\11\end{pmatrix} \]

Determinante principale:

\[ \Delta = \det(A) = 2\cdot2 - 3\cdot1 = 1 \]

Determinanti sostitutivi:

\[ \Delta_x = \det \begin{pmatrix}5 & 1\\11 &2\end{pmatrix} = -1, \quad \Delta_y = \det \begin{pmatrix}2 &5\\3 &11\end{pmatrix} = 7 \]

Soluzioni:

\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = -1, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = 7 \] ✅ Controllare sempre la realtà dei dati: prezzi negativi indicano errore.

🧪 6. Applicazioni interdisciplinari

  • Reti elettriche – risoluzione circuiti lineari
  • Logistica – ottimizzazione trasporto merci
  • Modelli di Markov – evoluzione stati nel tempo
  • Grafi orientati – matrici di adiacenza per percorsi

🧠 7. Competenze sviluppate

  • Rappresentazione simbolica e modellizzazione
  • Calcolo strutturato e ragionato
  • Interpretazione dei risultati
  • Collegamento tra matematica e fenomeni reali
  • Uso software: Excel, GeoGebra, Python/NumPy

📌 Conclusione

Apprendere matrici e determinanti significa avere una chiave di accesso per comprendere e intervenire in sistemi complessi. L’unione tra teoria e applicazione pratica consente di affrontare problemi reali in vari campi scientifici e tecnologici.

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