Corso di Analisi Matematica: 1 Limiti e Continuità

Limiti e Continuità

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🎯 Obiettivi didattici

• Comprendere il concetto di limite come base del calcolo infinitesimale.
• Analizzare e determinare la continuità di una funzione in un punto e su un intervallo.
• Riconoscere e trattare forme indeterminate.
• Utilizzare i teoremi fondamentali legati alla continuità.

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🧠 Contenuti Teorici

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1. 🚩 Cos’è un limite?

Il limite descrive il comportamento di vicino al punto , non necessariamente nel punto.

🔹 Esempio:

\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 3 \cdot 2 + 1 = 7

Anche se non è definito, il limite può esistere.

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2. 🔭 Limiti all’infinito e all'interno del dominio

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{(più x cresce, più } \frac{1}{x} \text{ si avvicina a 0)}

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty

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3. 💎 Limiti notevoli

📌 Primo limite notevole:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

📌 Secondo limite notevole:

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

Utili quando si studiano sviluppi di Taylor, derivate, oscillazioni.

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4. 🔧 Operazioni con i limiti

• Somma:
• Prodotto:
• Quoziente (se il denominatore non tende a 0):

  \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}

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5. ⚠️ Forme indeterminate più comuni

Forma	Esempio di trasformazione
	razionalizzazione, raccolta a fattor comune
	divide numeratore e denominatore per la maggiore potenza
	riscrivere come quoziente
	somma razionalizzata
	usare logaritmi

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6. 🔗 Continuità

Una funzione è continua in se:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Tipi di discontinuità:

Tipo	Descrizione	Esempio
Evitabile	Limite esiste ma non è definito o diverso	in
Di salto	Limiti laterali diversi	Funzione definita a tratti
Infinita	Limite tende a	in

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📏 Teorema di Weierstrass (Massimo e Minimo)

Se è continua su un intervallo chiuso , allora assume valore massimo e minimo assoluti.

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🔍 Teorema degli zeri di Bolzano

Se è continua su , e , allora esiste almeno un tale che .

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🧪 Esercizi Svolti

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📝 Esercizio 1 – Calcolo limite con forma indeterminata

Calcola:

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}

Soluzione:

= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2

📌 Forma indeterminata risolta con fattorizzazione.

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📝 Esercizio 2 – Discontinuità evitabile

Data:

f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\
k & x = 3
\end{cases}

Trova per cui è continua in

Soluzione:

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim (x + 3) = 6
\Rightarrow k = 6

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📝 Esercizio 3 – Applicazione fisica (velocità istantanea)

La posizione di un corpo è data da:

s(t) = t^2 + 2t

Trova la velocità media tra e , poi calcola il limite per .

Soluzione:

v_{media} = \frac{s(1 + h) - s(1)}{h} = \frac{(1 + h)^2 + 2(1 + h) - (1^2 + 2)}{h}
= \frac{1 + 2h + h^2 + 2 + 2h - 3}{h}

= \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \Rightarrow \lim_{h \to 0} v_{media} = 4

📌 Velocità istantanea = derivata = limite del rapporto incrementale.