Corso di Analisi Matematica: 2 Derivate e Regole di Derivazione

Derivate e Regole di Derivazione

Durata consigliata: 3–4 ore (lezione + esercitazioni pratiche)
Obiettivi

• Introdurre la derivata come tasso di variazione istantaneo.
• Imparare a calcolare derivati di funzioni elementari e di funzioni composte.
• Applicare il concetto a problemi geometrici (retta tangente) e fisici (velocità, accelerazione).

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1 — Prerequisiti

• Algebra elementare (espansione, potenze).
• Nozioni di limite e continuità.
• Nozioni base di trigonometria per le derivate di seno/coseno.

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2 — Definizione fondamentale

La derivata di in è il limite del rapporto incrementale:

f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Interpretazione: è il tasso di variazione istantaneo di in — la pendenza della retta tangente al grafico in quel punto.

Esempio (passo-passo): .

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}
=2x+h.

Prendendo il limite :

f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.

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3 — Interpretazione geometrica

Se è differenziabile in , la retta tangente in ha equazione

y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x-x_0).

Esempio: per in , . Tangente:

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4 — Proprietà generali

• Differenziabilità ⇒ Continuità. Se esiste allora .
• Esistono funzioni continue non differenziabili in punti (es. in ).

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5 — Derivate fondamentali (lista rapida)

• (per )
• (con )
• (per )

(per seno/coseno i limiti e sono utilizzati nelle dimostrazioni.)

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6 — Regole di derivazione (con dimostrazione sintetica)

Regola della somma

(f+g)'=f'+g'

Regola del prodotto

(fg)'=f'g+fg'

Dimostrazione rapida:

\frac{(f g)(x+h)-(f g)(x)}{h}=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}

=\frac{f(x+h)(g(x+h)-g(x))+g(x)(f(x+h)-f(x))}{h}.

Regola del quoziente

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\neq0.

Regola della catena (chain rule)

Se e , allora

\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x).

Idea della dimostrazione:

\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}

=\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}

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7 — Derivazione di funzioni composte (esempi)

Esempio 1:
Applica la catena: , .

Esempio 2:

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8 — Dimostrazione (rapida) della regola per

Usando il binomio:

(x+h)^n = x^n + n x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\dots + h^n.

\frac{(x+h)^n-x^n}{h} = n x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h+\dots + h^{n-1}.

Per potenze reali si usa la scrittura e la catena.

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9 — Attività pratiche consigliate (laboratorio)

A) Pendenza sperimentale

• Scegli una funzione (es. ).
• Calcola la pendenza teorica .
• Scegli un punto ; approssima la pendenza con secanti: per .
• Confronta i valori e osserva la convergenza verso .

Esempio numerico: . . In : . Le secanti per piccoli tenderanno a 0.

B) Applicazioni alla fisica

• Dato il moto , trova velocità e accelerazione:
  , .
• Interpreta i valori: velocità nulla ⇒ istanti di inversione del moto; accelerazione positiva/negativa ⇒ aumento/diminuzione della velocità.

C) Tangente e ottimizzazione

• Calcola i punti critici , usa la seconda derivata per classificare minimo/ massimo.