Corso di Matematica propedeutica alla Fisica: 5 Derivate

 5. Derivate e Regole di Calcolo

1. Che cos’è la derivata

Il concetto di derivata nasce dall’esigenza di descrivere il cambiamento. Se una funzione $f(x)$ rappresenta un fenomeno – ad esempio la posizione di un oggetto nel tempo – la derivata misura quanto rapidamente tale grandezza varia. In termini geometrici, la derivata in un punto è la pendenza della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.

Formalmente la derivata di $f$ in $x$ è definita come:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Questo limite è detto rapporto incrementale: confronta la variazione dell’uscita ($f(x+h)-f(x)$) con la variazione dell’ingresso ($h$). Più $h$ è piccolo, più il rapporto misura il “cambiamento istantaneo”.

Esempio introduttivo: la parabola

Per $f(x)=x^2$:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2xh+h^2}{h} = 2x+h$$

Mandando $h\to 0$, si ottiene $f'(x)=2x$.

Questo significa che la pendenza della parabola nel punto $x$ è il doppio dell’ascissa.

2. Interpretazione geometrica

Se $f$ è derivabile in un punto $x_0$, la retta tangente ha equazione:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$$

Questa retta tocca il grafico senza “tagliarlo” nell’intorno di $x_0$.

Esempio pratico:

Per $f(x)=x^2$ in $x_0=1$:

• $f(1)=1$

• $f'(1)=2$
  La tangente sarà $y = 1 + 2(x-1) = 2x - 1$.
  Se tracciamo la parabola e questa retta, vedremo che hanno lo stesso punto in comune e la stessa pendenza.

3. Concetti fondamentali

1. Differenziabilità implica continuità: se la derivata esiste in un punto, la funzione è continua in quel punto.

2. Il contrario non è sempre vero: ad esempio $f(x)=|x|$ è continua ovunque, ma non derivabile in $x=0$, perché lì la tangente da sinistra e quella da destra hanno pendenze diverse.

3. Significato fisico: se $f(t)$ rappresenta la posizione nel tempo, la derivata $f'(t)$ rappresenta la velocità, e la seconda derivata $f''(t)$ rappresenta l’accelerazione.

4. Regole principali di derivazione

• Costante: $(c)' = 0$.

• Potenza: $(x^n)' = n x^{n-1}$.

• Somma: $(f+g)' = f' + g'$.

• Prodotto: $(fg)' = f'g + fg'$.

• Quoziente: $\bigl(\frac{f}{g}\bigr)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g\neq 0$.

• Composizione (catena): $(f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g'$.

Derivate notevoli:

• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

• $\frac{d}{dx}(\ln x) = 1/x \; (x>0)$

5. Esempi svolti

(a) $f(x) = x^3 \sin x$

Usiamo la regola del prodotto:

$$f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x.$$

Valutazione in $x=\pi$:

• Primo termine: $3\pi^2 \sin\pi = 0$

• Secondo termine: $\pi^3 \cos\pi = \pi^3 \cdot (-1) \approx -31.006$
  Quindi $f'(\pi) \approx -31.006$.

(b) $g(x) = \ln(\sin x), \; 0 < x < \pi$

Regola della catena:

$$g'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x.$$

(c) Funzione composta: $y=\sin(x^2)$

Applichiamo la chain rule:

$$y' = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

(d) Polinomio di grado 3: $s(t) = t^3 - 3t^2 + 2t$

Velocità:

$$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 2$$

Accelerazione:

$$a(t) = v'(t) = 6t - 6$$

• Gli zeri di $v(t)$ indicano istanti in cui il moto si ferma o inverte.

• L’accelerazione dice se la velocità cresce o cala.

6. Attività pratiche

A) Pendenza numerica

Prendiamo $f(x)=x^2$ in $x=1$.

Calcoliamo le pendenze delle secanti:

• con $h=0.1$: $\frac{(1.1)^2-1}{0.1}=2.1$

• con $h=0.01$: $2.01$

• con $h=0.001$: $2.001$
  Vediamo che si avvicinano sempre più a 2, che è la derivata esatta.

B) Tangente

Trova la tangente a $f(x)=\cos x$ in $x_0=0$.

• $f(0)=1$

• $f'(x)=-\sin x \Rightarrow f'(0)=0$
  La tangente è $y=1$, cioè una retta orizzontale.

C) Ottimizzazione

Per $f(x)=x^3-3x^2+2x$:

• Calcoliamo $f'(x)=3x^2-6x+2=0$.
  Le soluzioni sono i punti critici.

• Per classificarli, usiamo la seconda derivata $f''(x)=6x-6$.
  Se $f''>0$ → minimo; se $f''<0$ → massimo.

7. Conclusione

Le derivate sono uno strumento potente: permettono di collegare matematica pura, geometria e applicazioni pratiche come la fisica e l’ottimizzazione. La chiave per padroneggiarle è la pratica: partire da esempi semplici, capire bene il significato geometrico e fisico, e poi affrontare funzioni più complesse con le regole di derivazione.