Corso di Probabilità Statistica e Teoria degli Errori: 1 Calcolo Combinatorio


📊 Calcolo Combinatorio


Benvenuti a questa lezione intensiva. Il calcolo combinatorio è l'arte di contare configurazioni possibili senza doverle elencare una per una. È la base della statistica, della crittografia e del moderno machine learning.

1. Il Principio Fondamentale del Conteggio

Se una scelta può essere fatta in n modi e, per ciascuno di essi, una seconda scelta può essere fatta in m modi, allora l'insieme delle due scelte può essere effettuato in:

n × m modi

Esempio Pratico: Se per comporre un menù puoi scegliere tra 3 antipasti e 5 primi, hai 3 × 5 = 15 combinazioni diverse.

2. Permutazioni: L'Arte dell'Ordinamento

Le permutazioni si usano quando vogliamo sapere in quanti modi possiamo scambiare di posto un numero n di oggetti distinti. L'ordine conta e usiamo tutti gli elementi.

● Permutazioni Semplici

Il numero di modi è dato dal fattoriale di n (n!):

P = n! (ovvero: n × (n-1) × (n-2) ... × 1)

● Permutazioni con Ripetizione

Se alcuni elementi sono identici (come le lettere in una parola), dividiamo per i duplicati:

P = n! / (k1! × k2! ...)

  • Esempio MATEMATICA: 10 lettere totali. Ripetizioni: M (2), A (3), T (2).

  • Calcolo: 10! / (2! × 3! × 2!)

3. Disposizioni: Scegliere e Ordinare

Nelle disposizioni vogliamo scegliere k elementi da un gruppo di n e l'ordine è importante (es. un codice PIN).

  • Senza Ripetizione: Si usano quando non puoi riutilizzare lo stesso elemento.

    • Esempio: Podio per 3 persone su 10. 10 × 9 × 8 = 720.

  • Con Ripetizione: Si usano quando puoi riutilizzare gli elementi.

    • Formula: n^k (n elevato a k)

    • Esempio: Un PIN a 4 cifre. Ogni cifra ha 10 possibilità. 10^4 = 10.000.

4. Combinazioni: Scegliere senza Ordine

Nelle combinazioni, l'ordine non conta. Ci interessa solo chi fa parte del gruppo, non la sua posizione. Si usa il coefficiente binomiale.

Formula:

C = n! / [ k! × (n - k)! ]

  • Esempio Squadra: Scegliere 11 giocatori da una rosa di 20. Non importa l'ordine di chiamata, conta il gruppo finale.

  • Esempio Superenalotto: Scegliere 6 numeri su 90.

5. Laboratorio Pratico

ProblemaL'ordine conta?Elementi ripetibili?Formula da usare
AnagrammiSìNo (o specificati)Permutazioni
Codici PINSìSìDisposizioni con rip.
Gruppi/SottogruppiNoNoCombinazioni

💡 Esempi Applicativi per il tuo Blog:

  1. Sicurezza Digitale: Quanti codici PIN da 4 cifre esistono? 10.000.

  2. Linguistica: Quanti anagrammi ha la parola "CASA"? 4! / 2! = 12.

  3. Giochi: In quanti modi puoi scegliere 6 numeri su 49? 13.983.816.

Conclusione

Imparare a contare in modo intelligente significa risolvere problemi complessi con eleganza matematica. Dalla crittografia dei tuoi messaggi alla strategia nei giochi, il calcolo combinatorio è ovunque.


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