Corso di Teoria delle Categorie e Logica Superiore: 1 Introduzione alla Teoria delle Categorie


Introduzione alla Teoria delle Categorie

🎯 Obiettivi del modulo

  • Fornire una visione unificante e altamente astratta della matematica e dell’informatica attraverso il linguaggio delle categorie.
  • Introdurre i concetti chiave di oggetto, morfismo e composizione, come elementi strutturali fondamentali.
  • Comprendere il significato e l’utilità dei funtori, che collegano diverse strutture matematiche.
  • Sviluppare abilità di modellizzazione strutturale e ragionamento diagrammatico.

📚 Contenuti del modulo

🔹 1. Che cos'è una categoria?

Una categoria è una struttura matematica composta da:

  • Una collezione di oggetti (che possono essere insiemi, gruppi, spazi topologici, ecc.)
  • Una collezione di morfismi (o frecce) che rappresentano trasformazioni da un oggetto a un altro

Per essere una categoria, devono valere due condizioni fondamentali:

  1. Composizione: se c'è un morfismo da a e uno da a , esiste un morfismo composto da a .
  2. Identità: per ogni oggetto esiste un morfismo identità che lo lascia invariato.

👉 Esempio intuitivo:
Immagina una rete di città (oggetti) con treni diretti (morfismi). Se puoi andare da Roma a Milano, e da Milano a Torino, allora puoi andare da Roma a Torino (composizione). Inoltre, puoi sempre restare nella tua città (identità).

🔹 2. Morfismi e composizione

  • Un morfismo è una freccia che va da un oggetto a un oggetto .
  • La composizione di due morfismi e è un nuovo morfismo .
  • L’identità soddisfa: e

🔹 3. Esempi classici di categorie

  • Set: oggetti sono insiemi, morfismi sono funzioni tra insiemi
  • Grp: oggetti sono gruppi, morfismi sono omomorfismi di gruppo
  • Top: oggetti sono spazi topologici, morfismi sono funzioni continue
  • Vect: oggetti sono spazi vettoriali, morfismi sono applicazioni lineari

👉 Ogni area della matematica può essere vista come una categoria!

🔹 4. Funtori: collegamenti tra categorie

Un funtore è una mappa tra categorie che:

  • Associa a ogni oggetto di una categoria un oggetto in un’altra
  • Associa a ogni morfismo un altro morfismo preservando struttura e composizione

👉 Esempio:
Un funtore può tradurre ogni gruppo in un insieme (dimenticando la struttura), oppure ogni spazio topologico nel suo gruppo fondamentale.

📌 I funtori sono fondamentali nell’informatica teorica e nei linguaggi di programmazione funzionale (es. Haskell).

🔧 Attività pratiche

🧪 1. Costruzione di semplici categorie

  • Crea una categoria di 3 oggetti:
    Aggiungi frecce tra di loro: , ,
  • Disegna un diagramma commutativo che mostra queste relazioni

🧩 2. Esempi di funtori

  • Costruisci un funtore da Set a Set che associa a ogni insieme l’insieme delle liste finite su
  • Associa a ogni funzione una funzione tra le liste

📐 Esercizio:
Verifica che la composizione e l’identità siano preservate:

📘 Materiali di supporto

  • Diagrammi visivi delle categorie e funtori
  • Schede di esempi concreti: Set, Grp, Top
  • Glossario dei termini essenziali: oggetto, morfismo, funtore, composizione
  • Tabelle di confronto tra categorie matematiche e categorie informatiche

💬 Domande per il confronto

  • Riesci a pensare a un esempio di "freccia" nella tua vita quotidiana?
  • Hai mai pensato a un linguaggio come Haskell o Scala in termini di categorie?
  • Quali vantaggi vedi nell'usare strutture astratte per descrivere relazioni concrete?

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