Corso Equazioni Differenziali Algebra e Geometria Differenziale: 1 Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO)

 Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO)

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🎯 Obiettivi del modulo

• Comprendere cosa sono le equazioni differenziali ordinarie (EDO) e perché sono fondamentali nella matematica applicata.
• Apprendere i metodi principali per risolvere le EDO del primo e del secondo ordine.
• Esplorare i modelli reali descritti dalle EDO: crescita biologica, decadimento radioattivo, oscillazioni meccaniche, dinamica dei sistemi.
• Sviluppare competenze per affrontare sistemi di EDO e utilizzare approcci qualitativi e analitici.

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📚 Contenuti del modulo

🔹 1. Cos'è un’equazione differenziale ordinaria?

Un’equazione differenziale ordinaria è un’equazione che contiene una o più derivate di una funzione incognita, rispetto a una sola variabile indipendente.

👉 Esempio:

\frac{dy}{dx} = ky

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🔹 2. EDO di primo ordine: separabili, lineari, esatte

✅ Equazioni separabili

Si possono riscrivere nella forma:

\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx

✅ Equazioni lineari del primo ordine

Forma generale:

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

\mu(x) = e^{\int P(x)dx}

✅ Equazioni esatte

Forma:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

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🔹 3. EDO di ordine superiore

✅ Riduzione dell’ordine

Usata quando conosciamo già una soluzione e vogliamo trovare una seconda soluzione lineare indipendente.

✅ Equazioni lineari a coefficienti costanti

Forma:

a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_0 y = f(x)

👉 Esempio:

y'' - 3y' + 2y = 0

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🔹 4. Sistemi di equazioni differenziali

Molti fenomeni naturali sono descritti da più equazioni differenziali interconnesse.

👉 Esempio:
Sistema preda-predatore (modello di Lotka-Volterra):

\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = ax - bxy \\
\frac{dy}{dt} = -cy + dxy
\end{cases}

• : numero di prede
• : numero di predatori
• : parametri positivi del sistema

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🔹 5. Metodi qualitativi e analitici

Oltre alla soluzione esatta, è spesso utile:

• Analizzare punti critici, stabilità, e comportamento asintotico
• Usare direzione dei campi vettoriali
• Rappresentare graficamente le curve integrali e diagrammi di fase

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🔧 Attività pratiche

🧪 1. Risoluzione di EDO di primo ordine

• Esercizio: Risolvere l’equazione:

\frac{dy}{dx} = 2xy

• Esercizio: Verifica dell’esattezza per:

(2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy = 0

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🛠️ 2. Applicazioni pratiche

🌱 Crescita batterica:

\frac{dy}{dt} = ky

🧪 Decadimento radioattivo:

\frac{dy}{dt} = -\lambda y

🌀 Dinamica meccanica:

Oscillatore armonico:

m\ddot{x} + kx = 0

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📘 Materiale integrativo

• Schede grafiche per rappresentare soluzioni
• Tabelle dei metodi di risoluzione
• Mappe concettuali delle classificazioni delle EDO
• Utilizzo di software (GeoGebra, Desmos, WolframAlpha) per tracciare soluzioni

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💬 Domande per la discussione

• Hai mai incontrato una situazione reale che potrebbe essere descritta con un'equazione differenziale?
• Quali difficoltà incontri nella risoluzione delle EDO?
• Preferisci approcci qualitativi o analitici? Perché?

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