PER UNA GAIA SCIENZA

  Teoria dei Codici Obiettivi: Comprendere come vengono costruiti e usati i codici per la correzione degli errori nelle comunicazioni Contenuti: Introduzione ai codici lineari : definizione, generazione e verifica Codici ciclici e loro proprietà Codici di Hamming : struttura, capacità di correzione errori Codici di controllo e rilevazione errori in trasmissione dati Attività pratiche: Costruzione di un codice di Hamming e simulazione di correzione errori Esempi di codici ciclici con generatori e polinomi associati

  Algebra Lineare Avanzata Obiettivi: Sviluppare tecniche avanzate di algebra lineare utili in informatica e crittografia Contenuti: Calcolo e significato di autovalori e autovettori Diagonalizzazione di matrici: condizioni e procedure Applicazioni pratiche: riduzione di matrici, risoluzione di sistemi dinamici lineari Spazi vettoriali con prodotti scalari e matrici simmetriche Attività pratiche: Esempi di diagonalizzazione con matrici 2x2 e 3x3 Applicazioni in problemi di stabilità e trasformazioni lineari

📘 Algebra Astratta Avanzata Obiettivi del modulo: 🧠 Approfondire le strutture algebriche fondamentali in matematica astratta 🧩 Comprendere proprietà e applicazioni di gruppi , anelli e campi 🔷 Contenuti teorici 🔹 Gruppi: definizione assiomatica, gruppi abeliani, sottogruppi, gruppi ciclici, ordine di un elemento 🔹 Anelli: strutture con due operazioni, anelli commutativi, anelli con unità, anelli integrali 🔹 Campi: strutture in cui ogni elemento non nullo è invertibile, campi finiti, campi razionali, reali e complessi 🔹 Omomorfismi e isomorfismi: struttura-preservanti tra insiemi algebrici, nucleo e immagine 🔍 Approfondimenti 📐 Teorema di Lagrange e applicazioni 📊 Gruppi simmetrici Sₙ: permutazioni e composizione 🌀 Gruppi di rotazioni (es. SO(2), SO(3)) nelle simmetrie geometriche 🔢 Utilizzo dei campi finiti in crittografia (es. campo GF(2ⁿ)) 🛠️ Attività pratiche 🧮 Classificare so...

  Applicazioni Interdisciplinari Contenuti trasversali: Fisica : analisi dei dati sperimentali, misure e incertezze Scienze sociali : sondaggi, analisi di tendenze, demoscopia Informatica : data science di base, probabilità in algoritmi, machine learning (cenni) Attività pratiche: Studio di dataset reali (es. COVID-19, dati demografici) Analisi di algoritmi probabilistici semplici (random walk, hashing) Materiali di supporto: Fogli di calcolo, notebook Python, simulatori online Test autovalutativi con feedback automatico Video tutorial ed esercitazioni progressive

  Teoria degli Errori Obiettivi: Analizzare la natura e la propagazione degli errori nelle misurazioni e nei dati Imparare a trattare l’incertezza in modo scientifico Contenuti: Errore assoluto e relativo Errori sistematici e casuali Propagazione degli errori nelle operazioni matematiche Significatività dei dati e arrotondamenti Incertezza nelle misure sperimentali Attività pratiche: Misure con righelli, cronometri, bilance: calcolo errori Esperimenti scientifici con analisi dei margini di errore

Statistica Inferenziale Obiettivi: Capire come trarre conclusioni su una popolazione a partire da un campione Introdurre il concetto di significatività statistica Contenuti: Campionamento e popolazione Distribuzioni di probabilità : binomiale, normale (cenni) Intervalli di confidenza (cenni) Errori di I e II tipo Test di ipotesi e p-value (cenni) Attività pratiche: Sondaggi e mini inchieste tra pari Uso di strumenti online per simulare campionamenti

Statistica Descrittiva Obiettivi: Raccogliere, organizzare e descrivere dati reali Rappresentare visivamente le informazioni Contenuti: Tabelle di frequenza e istogrammi Media aritmetica, mediana, moda Range, varianza e deviazione standard Distribuzioni di frequenza Rappresentazioni grafiche : diagrammi a barre, boxplot, istogrammi Attività pratiche: Raccolta dati su fenomeni quotidiani (es. tempo di studio, consumo energetico) Costruzione di grafici con Excel, Google Sheets, Python (pandas/matplotlib)

Teoria della Probabilità Obiettivi: Comprendere i concetti fondamentali della probabilità classica e frequentista Analizzare eventi e spazi campionari Contenuti: Spazi campionari e eventi Probabilità classica, frequentista e soggettiva Probabilità composta, unione e intersezione di eventi Eventi indipendenti e incompatibili Probabilità condizionata e teorema di Bayes Attività pratiche: Simulazioni di lanci di dadi, monete, roulette Analisi di scenari realistici: rischio assicurativo, test diagnostici

📊 Calcolo Combinatorio Obiettivi del modulo: 🧮 Acquisire strumenti per il conteggio sistematico di eventi e situazioni 🎲 Applicare le tecniche combinatorie alla risoluzione di problemi di probabilità 🔷 Contenuti teorici 📐 Principio fondamentale del conteggio – prodotto delle possibilità in sequenza 🔄 Permutazioni – semplici (n!) e con ripetizione 📦 Disposizioni – con e senza ripetizione 🧩 Combinazioni semplici – senza ripetizione, formule binomiali 🎯 Applicazioni – anagrammi, estrazioni da urne, codici di accesso, gruppi ordinati 🛠️ Attività pratiche 🔢 Calcolo del numero possibile di PIN a 4 cifre con/senza ripetizione 🔡 Conteggio degli anagrammi possibili di una parola con lettere ripetute 🧠 Combinazioni di squadre da un gruppo (es. 11 giocatori da 20) 🎲 Simulazioni di giochi logici (es. Mastermind , Sudoku ridotti ) usando strumenti combinatori 💡 Esempi applicativi 📱 ...

Applicazioni del Calcolo Differenziale e Integrale Obiettivi: Sperimentare le potenzialità dell’analisi matematica nella descrizione di fenomeni reali Contenuti: Ottimizzazione : problemi di massimo e minimo con vincoli reali Problemi cinematici : posizione, velocità, accelerazione Modelli esponenziali e logaritmici : crescita, decadimento, epidemie Area tra due curve , volumi di solidi di rotazione (cenni) Approfondimenti interdisciplinari : economia, ecologia, ingegneria Attività pratiche: Simulazioni con software dinamico (Desmos, GeoGebra) Studio di casi concreti: “dall’equazione al fenomeno” Materiali di supporto: Schede esercizi graduate per difficoltà Simulazioni interattive e video-lezioni Applicazioni in Python (plotting, calcolo numerico con SymPy) Esempi reali tratti da scienza, arte e tecnologia

Integrazione Obiettivi: Comprendere l’integrazione come operazione inversa della derivazione Calcolare aree, primitive e integrali definiti Contenuti: Primitive di funzioni elementari Integrazione indefinita e definita Teorema fondamentale del calcolo integrale Metodo di sostituzione e per parti (cenni) Aree sotto il grafico di una funzione Attività pratiche: Calcolo dell’area di figure irregolari Applicazioni in biologia (accumulo di sostanze) e fisica (lavoro, energia)

Studio di Funzione Obiettivi: Analizzare il comportamento delle funzioni reali con metodi analitici e grafici Contenuti: Segno della derivata prima : crescenza e decrescenza Derivata seconda : concavità e flessi Ricerca di massimi e minimi relativi e assoluti Asintoti orizzontali, verticali e obliqui Grafico qualitativo della funzione Attività pratiche: Analisi di modelli di crescita (popolazione, economia) Costruzione guidata di schede di studio funzione

Derivate e Regole di Derivazione Durata consigliata: 3–4 ore (lezione + esercitazioni pratiche) Obiettivi Introdurre la derivata come tasso di variazione istantaneo . Imparare a calcolare derivati di funzioni elementari e di funzioni composte. Applicare il concetto a problemi geometrici (retta tangente) e fisici (velocità, accelerazione). 1 — Prerequisiti Algebra elementare (espansione, potenze). Nozioni di limite e continuità. Nozioni base di trigonometria per le derivate di seno/coseno. 2 — Definizione fondamentale La derivata di in è il limite del rapporto incrementale: f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} Interpretazione: è il tasso di variazione istantaneo di in — la pendenza della retta tangente al grafico in quel punto. Esempio (passo-passo): . \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h} =2x+h. Prendendo il limite : f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x. 3 — Interpretazione geometrica Se è differe...

Limiti e Continuità 🎯 Obiettivi didattici Comprendere il concetto di limite come base del calcolo infinitesimale. Analizzare e determinare la continuità di una funzione in un punto e su un intervallo. Riconoscere e trattare forme indeterminate . Utilizzare i teoremi fondamentali legati alla continuità. 🧠 Contenuti Teorici 1. 🚩 Cos’è un limite? Il limite descrive il comportamento di vicino al punto , non necessariamente nel punto . 🔹 Esempio: \lim_{x \to 2} (3x + 1) = 3 \cdot 2 + 1 = 7 Anche se non è definito, il limite può esistere . 2. 🔭 Limiti all’infinito e all'interno del dominio \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{(più x cresce, più } \frac{1}{x} \text{ si avvicina a 0)} \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty 3. 💎 Limiti notevoli 📌 Primo limite notevole: \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 📌 Secondo limite notevole: \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} ...