Corso di Probabilità Statistica e Teoria degli Errori: 5 Teoria degli Errori
Teoria degli Errori
Obiettivi: analizzare natura e propagazione degli errori nelle misurazioni, imparare a trattare incertezza e significatività dei dati.
1) Obiettivi formativi
Il corso intende chiarire la differenza tra errori casuali e sistematici, introdurre le misure di incertezza (errore assoluto, errore relativo, deviazione standard, errore standard della media), presentare le regole di propagazione degli errori nelle operazioni matematiche e fornire metodi pratici per stimare l’incertezza nelle misure sperimentali.
2) Errori fondamentali: definizioni
Errore assoluto: se una misura sperimentale è \(\tilde x\) e il valore vero (o riferimento) è \(x\), l’errore assoluto è
\(\displaystyle \Delta x = \tilde x - x\).
Errore relativo (spesso espresso in percentuale):
\(\displaystyle \delta x = \frac{|\Delta x|}{|x|}\quad\text{(oppure }100\%\cdot\delta x\text{)}.\)
Nel lavoro sperimentale il valore vero \(x\) è spesso sconosciuto: si usano stime come la media campionaria e la deviazione standard per valutare l’incertezza.
3) Errori casuali vs sistematici
Gli errori casuali sono fluttuazioni imprevedibili attorno al valore atteso, riducibili aumentando il numero di misure (riduzione dell'errore standard). Gli errori sistematici sono spostamenti costanti (o trend) dovuti a strumenti tarati male, bias di metodo o condizioni sperimentali; non si riducono con ripetizioni e richiedono correzione metodologica o taratura.
4) Misure di dispersione e incertezza
Per un campione di n misure \(x_i\): la media campionaria è \(\bar x = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\). La varianza campionaria (stimatore non distorto) è
\(\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2.\)
La deviazione standard è \(s=\sqrt{s^2}\). L’errore standard della media (incertezza della stima di \(\bar x\)) è
\(\displaystyle \sigma_{\bar x}=\frac{s}{\sqrt{n}}.\)
5) Propagazione degli errori: regole pratiche
Se \(y=f(x_1,x_2,\dots,x_m)\) e i \(x_i\) hanno incertezze \(\sigma_{x_i}\) (piccole, indipendenti), la propagazione approssimata (propagazione tramite derivata, formula delle varianze) è
\(\displaystyle \sigma_y^2 \approx \sum_{i=1}^m \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2}\sigma_{x_i}^2 + 2\sum_{i
Se le variabili sono indipendenti, i termini di covarianza si annullano e rimane la somma delle varianze pesate.
Regole elementari (indipendenza, incertezza piccola):
- Somme e differenze: \(z=x\pm y \Rightarrow \sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}.\)
- Prodotto: \(z=xy \Rightarrow \frac{\sigma_z}{|z|}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}.\)
- Rapporto: \(z=\dfrac{x}{y} \Rightarrow \frac{\sigma_z}{|z|}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}.\)
- Potenza: \(z=x^a \Rightarrow \frac{\sigma_z}{|z|}=|a|\frac{\sigma_x}{|x|}.\)
6) Significatività dei dati e regole di arrotondamento
Una buona pratica è esprimere una misura \(\tilde x\) con la sua incertezza \(\sigma_{\tilde x}\) arrotondando l’incertezza a una (o due) cifre significative e riportando la misura con lo stesso numero di decimali. Esempio: \(\tilde x=12.3456\), \(\sigma=0.1345\) → arrotondare σ a 0.13 → riporto valore come 12.35 ± 0.13.
7) Esempi numerici svolti
7.1 Somma di misure
Misure: \(x=5.0\pm0.1\), \(y=3.0\pm0.05\). z = x + y = 8.0. Incertezza:
\(\sigma_z=\sqrt{0.1^2+0.05^2}=\sqrt{0.0125}\approx0.1118.\)
Risultato: \(z=8.0\pm0.11.\)
7.2 Prodotto di misure
Misure: \(x=2.00\pm0.02\), \(y=4.00\pm0.04\). z=xy=8.00. Errore relativo:
\(\frac{\sigma_z}{z}=\sqrt{\left(\frac{0.02}{2}\right)^2+\left(\frac{0.04}{4}\right)^2}=\sqrt{(0.01)^2+(0.01)^2}=\sqrt{2\times10^{-4}}=0.01414.\)
Quindi \(\sigma_z=0.01414\times8.00\approx0.1131\). Risultato: \(8.00\pm0.11.\)
8) Attività pratiche e strumenti interattivi
Proponiamo tre strumenti: (A) calcolatore semplice di errore assoluto/relativo; (B) propagatore automatico per somme/prodotti/rapporto/potenze; (C) simulazione di misure ripetute per stimare media, deviazione standard e errore standard della media.
A — Calcolatore errore assoluto / relativo
B — Propagatore di errori (somme/prodotti/rapporto/potenza)
C — Simulazione misure ripetute
9) Esercizi guidati (con soluzioni)
Esercizio 1 — Media e errore standard
Misure: 10.12, 9.98, 10.05, 10.20, 9.95. Calcola media, deviazione standard campionaria e errore standard della media.
Soluzione: media \(\bar x\approx10.06\). s ≈ 0.095 (calcolo esplicito), errore standard σ_{\bar x}=s/√5 ≈ 0.0425.
Esercizio 2 — Propagazione (rapporto)
Misure: x=100.0±0.5, y=20.0±0.2. Calcola z=x/y e la relativa incertezza.
Soluzione: z=5.0. Errore relativo: sqrt((0.5/100)^2 + (0.2/20)^2)=sqrt(0.000025+0.0001)=sqrt(0.000125)=0.01118. σ_z = 0.01118×5.0 ≈ 0.0559. Quindi z=5.00±0.06.
10) Considerazioni pratiche e controllo degli errori sistematici
Per individuare errori sistematici è utile: (a) calibrare gli strumenti con standard noti; (b) confrontare misure eseguite con metodi diversi; (c) verificare dipendenze con condizioni sperimentali (temperatura, umidità); (d) effettuare analisi di residuali se si fanno regressioni. Se si sospetta un bias, cercare la fonte (strumento, metodo, campionamento) e correggerla o quantificarla come componente aggiuntiva dell'incertezza sistematica.
11) Risorse e approfondimenti
- J.R. Taylor, An Introduction to Error Analysis
- Philip Bevington, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences
- Materiale didattico su incertezza di misura (NIST e guide metrologiche)
Se vuoi, posso: (a) trasformare gli esempi in immagini PNG per ospitarle su Blogger e garantire visualizzazione sicura delle formule; (b) generare un file PDF stampabile con esercizi; (c) fornire codice Python (notebook/Colab) per simulazioni Monte Carlo e analisi più sofisticate.
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