PER UNA GAIA SCIENZA

🎓  CORSO DI MECCANICA QUANTISTICA – Fondamenti e Formalismo Livello:  Avanzato Durata:  45 ore (15 lezioni da 3 ore) Obiettivo generale:  fornire una comprensione rigorosa e strutturata della Meccanica Quantistica, dalle basi postulatorie fino ai modelli fondamentali, con uno sguardo alla formalizzazione matematica e agli sviluppi concettuali. 🧭  STRUTTURA DEL CORSO 📍  MODULO 1 – Introduzione e postulati della MQ   (2 lezioni – 6 ore) Obiettivi:  definire la struttura assiomatica della meccanica quantistica e i principi fondativi. Contenuti: Limiti della meccanica classica e fallimento della fisica newtoniana Esperimenti fondamentali: doppia fenditura, effetto fotoelettrico, effetto Compton Postulati della meccanica quantistica Spazi di Hilbert: vettori di stato e osservabili Interpretazione probabilistica e funzione d’onda Principio di sovrapposizione, osservabili come operatori hermitiani

📍 MODULO 6 – Propedeutica alla Meccanica Quantistica (2 lezioni – 4 ore) Obiettivi: gettare un ponte tra i concetti classici e la formulazione quantistica Contenuti: Riepilogo dei concetti chiave: energia, momento, posizione Quantizzazione canonica: dal formalismo classico a quello quantistico Funzioni di Poisson e commutatori Dualità tra spazio delle fasi classico e operatori quantistici Cenni alla quantizzazione geometrica e al principio di corrispondenza 📚 MATERIALI E METODOLOGIA Lezioni frontali con esempi ed esercitazioni mirate Schede di approfondimento e problemi tratti da testi classici (Goldstein, Arnold, Landau) Test di verifica intermedi e finali Possibilità di project work su sistemi reali o simulati ✅ REQUISITI PRELIMINARI Analisi matematica I e II Algebra lineare e geometria analitica Meccanica classica newtoniana (fisica generale) Familiarità con strutture matematiche (derivate parziali, spazi vettoriali, operatori) 🎯 COMPETENZE IN USCIT...

📍  MODULO 5 – Geometria della Meccanica Obiettivi:  introdurre la struttura geometrica della meccanica classica come base per l'approccio geometrico alla quantizzazione. Contenuti: Varietà differenziabili, fibrati tangenti e cotangenti Spazio delle fasi come varietà simplettica Campi vettoriali hamiltoniani e forme differenziali Teorema di Darboux Geometria simplettica e quantizzazione canonica

📍  MODULO 4 – Sistemi integrabili e caos classico Obiettivi:  fornire un primo approccio ai sistemi non integrabili e alla dinamica caotica, utile anche in ottica semiclassica. Contenuti: Sistemi integrabili: variabili azione-angolo Sistemi non integrabili: perturbazioni e risonanze Introduzione al caos deterministico Invarianza e rottura dell’integrabilità Applicazioni: moto planetario, moto di spin classico

📍  MODULO 3 – Meccanica Hamiltoniana Obiettivi:  introdurre il formalismo hamiltoniano, ponte concettuale e formale con la meccanica quantistica. Contenuti: Trasformazione lagrangiana-hamiltoniana: variabili coniugate Equazioni di Hamilton Teoria delle trasformazioni canoniche Funzione generatrice e trasformazioni di Lie Teorema di Liouville e conservazione del volume nello spazio delle fasi Il formalismo del tensore semplice di Poisson Introduzione all’algebra di Poisson Esempi applicativi: oscillatori, corpo rigido, sistema centrale

📍  MODULO 2 – Meccanica Lagrangiana Obiettivi:  introdurre e approfondire la formulazione lagrangiana del moto. Contenuti: Principio di d’Alembert e il principio dei lavori virtuali Funzione lagrangiana: definizione, costruzione e proprietà Equazioni di Eulero-Lagrange Sistemi vincolati e coordinate generalizzate Simmetrie e integrali primi (Teorema di Noether) Applicazioni: pendolo semplice, doppio pendolo, oscillatore armonico, sistemi con vincoli olonomi

🎓  CORSO DI MECCANICA RAZIONALE PER L’ACCESSO ALLA MECCANICA QUANTISTICA Livello:  Avanzato Durata:  40 ore (20 lezioni da 2 ore) Obiettivo generale:  fornire una comprensione rigorosa e formale dei principi della meccanica classica attraverso il formalismo lagrangiano e hamiltoniano, in vista della loro trasposizione alla meccanica quantistica. 🧭  STRUTTURA DEL CORSO 📍  MODULO 1 – Introduzione e richiami fondamentali Obiettivi:  richiamare le nozioni base della meccanica classica, evidenziare i limiti del formalismo newtoniano e introdurre la necessità di formulazioni più generali. Contenuti: Spazio delle configurazioni e spazio delle fasi Generalizzazione delle coordinate Limiti del formalismo di Newton Introduzione al principio di minima azione Concetti base di vincoli e gradi di libertà

🔢 Modellazione Matematica in Economia, Fisica, Biologia e Informatica 🎯 Obiettivi formativi Introdurre la modellazione matematica come linguaggio trasversale che permette di descrivere, prevedere e controllare fenomeni complessi. Mostrare come la stessa struttura matematica possa applicarsi a settori molto diversi. Sviluppare competenze nel costruire, leggere e interpretare modelli matematici semplici , con esempi reali. 📚 Contenuti 💰 Economia – Modelli decisionali e di crescita Modello esponenziale e logistico della crescita economica (PIB, inflazione) Teoria dei giochi : il dilemma del prigioniero, strategie vincenti nei mercati Modelli di consumo e investimento con equazioni differenziali o ricorsive 📌 Esempio : La crescita di un fondo pensione può essere modellata con: A(t) = A₀e^{rt} dove A₀ è il capitale iniziale e r il tasso d’interesse. ⚛️ Fisica – Dinamiche e meccanica statistica Equazioni differenziali per il moto: pendolo, carica di un co...

Risoluzione di Problemi Complessi Multidisciplinari 🎯 Obiettivi Formativi Sviluppare la capacità di affrontare problemi articolati e reali utilizzando strumenti matematici. Promuovere il pensiero critico, la flessibilità cognitiva e il lavoro collaborativo. Integrare conoscenze da diverse aree (fisica, biologia, economia, informatica) attraverso la modellizzazione matematica. Valorizzare l’approccio “problem-solving” come metodo per affrontare la complessità del mondo reale. 📚 Contenuti 🧠 1. Analisi di problemi reali interdisciplinari Si parte da problemi concreti , spesso ispirati a situazioni attuali, scientifiche o tecnologiche. Ogni problema coinvolge più ambiti disciplinari , ed è affrontabile solo con un approccio integrato: Fisica : es. previsione del moto di un drone in ambiente ventoso. Economia : es. ottimizzazione dei profitti in presenza di vincoli ambientali. Biologia : es. modellizzazione della diffusione di un virus. Informatica : es. progettazione di ...

Teoria delle Reti e delle Trecce Obiettivi: Collegare la teoria dei grafi alle reti complesse e alle strutture di tipo treccia. Contenuti: Modelli di reti complesse: reti casuali, scale-free, small-world Analisi strutturale e dinamica delle reti Introduzione alla teoria delle trecce e ai gruppi delle trecce Applicazioni in informatica: reti di comunicazione, social network Applicazioni in fisica: reti di spin, sistemi complessi Attività pratiche: Simulazioni di reti e analisi di proprietà topologiche Studio di esempi reali e modelli di rete

Teoria dei Grafi Obiettivi: Introdurre la teoria dei grafi e le sue proprietà fondamentali. Contenuti: Definizione di grafo, grafi orientati e non orientati Tipi di grafi: alberi, grafi connessi, cicli Cammini, circuiti, e problemi di percorribilità Proprietà di grafi: grado, connettività, planaritá Grafi ponderati e applicazioni Attività pratiche: Costruzione e analisi di grafi semplici Algoritmi base: ricerca di cammini, alberi di copertura

  Topologia Differenziale e Quantistica Obiettivi: Presentare i concetti di base della topologia differenziale e le sue applicazioni in fisica quantistica. Contenuti: Varietà differenziabili: definizione e esempi Campi vettoriali, forme differenziali, integrali su varietà Concetti base della topologia quantistica: fibrati, connessioni, invarianti topologici in teoria quantistica dei campi Applicazioni a problemi fisici e geometrici Attività pratiche: Studio di esempi di varietà e calcolo di forme differenziali semplici Discussione di modelli topologici in fisica

Topologia Algebrica Obiettivi: Esplorare gli strumenti della topologia algebrica per studiare gli spazi mediante invarianti algebrici. Contenuti: Concetto di omotopia e spazi omotopicamente equivalenti Gruppi fondamentali e loro calcolo in esempi classici Introduzione all’omologia e coomologia Applicazioni degli invarianti topologici Attività pratiche: Calcolo del gruppo fondamentale di cerchi e figure semplici Introduzione a diagrammi e rappresentazioni algebriche di spazi

  Topologia Generale 🎯 Obiettivi Introdurre la nozione di spazio topologico , concetto centrale della topologia Comprendere cosa significhino gli insiemi aperti e chiusi in un contesto astratto Studiare la nozione di continuità tra spazi topologici Familiarizzare con strutture fondamentali come basi, sottospazi e prodotti topologici Approfondire proprietà topologiche importanti: compattezza , connessione , e proprietà di separazione 📚 Contenuti 1. Definizione di spazio topologico e esempi Un spazio topologico è un insieme dotato di una collezione di sottoinsiemi chiamati aperti , che soddisfano le seguenti proprietà: L’insieme vuoto e stesso appartengono a L’unione arbitraria di insiemi in è ancora in L’intersezione finita di insiemi in è ancora in Esempi: La topologia euclidea su , dove gli aperti sono gli insiemi usuali contenenti intorni aperti La topologia banale (triviale), dove gli unici aperti sono e La topologia discreta, in cui ogni sott...

  Applicazioni Interdisciplinari Obiettivi: Collegare i concetti teorici a problemi concreti in diverse discipline. Contenuti: Applicazioni in economia: mercati, aste, negoziazioni Applicazioni in biologia: competizione, cooperazione, evoluzione Scienze sociali: diffusione di informazioni, dinamiche di gruppo Problemi di ingegneria e gestione del rischio Attività pratiche: Studio di casi interdisciplinari e simulazioni Progettazione di modelli semplificati per problemi reali

Teoria della Complessità Obiettivi: Fornire le basi per comprendere i sistemi complessi e le loro dinamiche emergenti. Contenuti: Definizione di sistemi complessi Automi cellulari: regole, evoluzione, esempi (automa di Conway) Entropia algoritmica e misura della complessità Dinamiche emergenti e auto-organizzazione Attività pratiche: Creazione e analisi di automi cellulari Discussione di casi reali di sistemi complessi (ecosistemi, reti sociali)

Teoria del Caos Obiettivi: Introdurre i sistemi dinamici caotici e i loro comportamenti imprevedibili. Contenuti: Sistemi dinamici discreti e continui Definizione di caos e proprietà caratteristiche Attrattori strani e frattali Sensibilità alle condizioni iniziali e effetto farfalla Diagrammi di biforcazione Attività pratiche: Simulazioni di sistemi caotici semplici (mappa logistica, pendolo doppio) Analisi di traiettorie e diagrammi di fase

Teoria delle Catastrofi Obiettivi: Esplorare i modelli matematici che descrivono discontinuità e transizioni improvvise nei sistemi dinamici. Contenuti: Concetti di biforcazione e punti critici Modelli di catastrofi: cuspide, fold, swallowtail Applicazioni dei modelli di catastrofi in fenomeni naturali e sociali Stabilità e cambiamenti improvvisi nei sistemi non lineari Attività pratiche: Modellizzazione di semplici biforcazioni e catastrofi Analisi qualitativa di fenomeni con discontinuità improvvise

Teoria dei Giochi 🎯 Obiettivi del modulo Introdurre i concetti chiave della teoria dei giochi , disciplina matematica per l’analisi delle decisioni strategiche. Comprendere i diversi tipi di giochi e le logiche di interazione tra giocatori razionali . Acquisire strumenti per analizzare strategie dominanti , equilibri di Nash , giochi cooperativi e non cooperativi . Applicare i concetti appresi a casi reali o simulazioni , sia in contesti competitivi che collaborativi. 📚 Contenuti del modulo 🔹 1. Definizione di gioco: giocatori, strategie, payoffs Un gioco è definito da: Un insieme di giocatori Una gamma di strategie disponibili per ciascun giocatore Un sistema di payoffs (guadagni, punteggi, utilità) che ogni giocatore riceve in base alle scelte fatte (da sé e dagli altri) 👉 Esempio: Sasso, carta, forbice Giocatori: 2 Strategie: sasso, carta, forbice Payoff: vinco, perdo, pareggio (valori assegnati) 🔹 2. Giochi a somma zero e a somma non zero Somma z...

  Applicazioni in Fisica Ingegneria e Biologia Obiettivi: Mostrare l’utilizzo pratico delle equazioni differenziali e della geometria differenziale in varie discipline. Contenuti: Modelli dinamici in fisica (meccanica classica, elettromagnetismo) Problemi di controllo e sistemi dinamici in ingegneria Applicazioni a modelli biologici: crescita di popolazioni, diffusione e modelli epidemiologici Interpretazioni geometriche di fenomeni fisici Attività pratiche: Studio di modelli differenziali reali con analisi qualitativa e quantitativa Discussione di casi studio interdisciplinari

Geometria Differenziale Obiettivi: Fornire una panoramica della geometria differenziale, con attenzione a varietà, campi vettoriali e tensori. Contenuti: Nozioni base di varietà differenziabili Definizione e proprietà di campi vettoriali su varietà Forme differenziali e tensori: introduzione e esempi Concetti di derivata covariante e connessioni Curvatura e applicazioni geometriche Attività pratiche: Esempi di varietà semplici e loro proprietà Calcolo elementare di campi vettoriali e forme differenziali