CORSO DI MECCANICA RAZIONALE: Introduzione alla Meccanica Analitica

🌌 Introduzione alla Meccanica Analitica

La meccanica analitica è la branca della fisica che descrive il moto dei corpi in modo generalizzato e sistematico, superando alcune limitazioni del formalismo newtoniano. È particolarmente utile quando il sistema presenta vincoli complessi, coordinate curvilinee o simmetrie che semplificano i calcoli.

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1. Richiami fondamentali della meccanica classica

La legge di Newton:

$$\vec{F} = m \vec{a}$$

descrive il moto dei corpi sotto l’azione di forze. È perfetta per sistemi semplici, ma in presenza di vincoli o geometrie complesse il calcolo diretto delle forze diventa laborioso.

Esempio: un carrello che scorre lungo un binario curvo. Per determinare l’accelerazione occorre scomporre la forza totale lungo le tangenti locali e considerare reazioni vincolari. L’approccio newtoniano diventa rapidamente complesso.

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2. Coordinate generalizzate e spazio delle configurazioni

Per semplificare, si introducono le coordinate generalizzate $q_1, q_2, ..., q_n$, che descrivono le posizioni del sistema in modo più adatto alla geometria del problema.

• Lo spazio delle configurazioni è l’insieme di tutte le possibili posizioni, descritte da queste coordinate.

• Lo spazio delle fasi si ottiene aggiungendo le quantità di moto generalizzate $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$, fornendo una descrizione completa dello stato del sistema in un istante.

Esempio:

• Pendolo semplice: una sola coordinata $θ$.

• Particella vincolata su un cilindro: due coordinate libere, $φ$ e $z$.

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3. Principio di minima azione e lagrangiano

Il principio di minima azione afferma che il percorso seguito da un sistema tra due configurazioni estreme è quello che rende stazionaria (spesso minima) l’azione:

$$S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t) \, dt$$

dove il lagrangiano è:

$$L = T - V$$

con:

• $T$ energia cinetica,

• $V$ energia potenziale.

Applicando il calcolo variazionale si ottengono le equazioni di Eulero-Lagrange:

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \quad i = 1,2,...,n$$

Queste equazioni descrivono il moto senza dover calcolare direttamente le forze vincolari.

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4. Esempi numerici svolti

Esempio 1: Pendolo semplice

• Lunghezza: $l$

• Massa: $m$

• Coordinata generalizzata: $θ$ (angolo rispetto alla verticale)

Energia cinetica:

$$T = \frac{1}{2} m (l^2 \dot{θ}^2)$$

Energia potenziale:

$$V = m g l (1 - \cos θ)$$

Lagrangiano:

$$L = T - V = \frac{1}{2} m l^2 \dot{θ}^2 - m g l (1 - \cos θ)$$

Equazione di Eulero-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}\right) - \frac{\partial L}{\partial θ} = 0 \quad \Rightarrow \quad m l^2 \ddot{θ} + m g l \sin θ = 0$$

Caso piccolo angolo ($\sin θ \approx θ$):

$$\ddot{θ} + \frac{g}{l} θ = 0$$

Soluzione armonica:

$$θ(t) = θ_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}} t \right)$$

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Esempio 2: Particella su superficie cilindrica

• Cilindro di raggio $R$

• Coordinate cilindriche: $(r, φ, z)$, vincolo $r = R$ → due gradi di libertà liberi: $φ$ e $z$

Energia cinetica:

$$T = \frac{1}{2} m (R^2 \dot{φ}^2 + \dot{z}^2)$$

Energia potenziale: V = V(z) se c’è gravità lungo l’asse $z$.

Lagrangiano:

$$L = \frac{1}{2} m (R^2 \dot{φ}^2 + \dot{z}^2) - m g z$$

Equazioni di Eulero-Lagrange:

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{φ}} \right) - \frac{\partial L}{\partial φ} = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{φ} = 0 \quad (\text{moto uniforme})$$ $$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} \right) - \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{z} = - g$$

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5. Gradi di libertà

I gradi di libertà $n$ di un sistema rappresentano il numero minimo di coordinate indipendenti necessarie a descrivere lo stato del sistema.

• Pendolo semplice: n = 1

• Particella vincolata su cilindro: n = 2

• Sistema di N particelle libere nello spazio: n = 3N

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6. Vantaggi del formalismo lagrangiano

1. Vincoli incorporati nelle coordinate generalizzate

2. Trattamento elegante di forze conservative e simmetrie

3. Equazioni scalari invece che vettoriali complesse

4. Base per meccanica Hamiltoniana e fisica teorica

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7. Test di verifica

1. Cos’è lo spazio delle configurazioni?
   Risposta: L’insieme di tutte le possibili posizioni del sistema, descritte da coordinate generalizzate.

2. Perché il formalismo di Newton può essere limitante?
   Risposta: Difficile da applicare con vincoli complessi o coordinate non cartesiane.

3. Cos’è il principio di minima azione?
   Risposta: Il sistema evolve tra due configurazioni rendendo stazionaria l’azione, integrale del lagrangiano.

4. Come si definisce il lagrangiano?
   Risposta: L = T - V, differenza tra energia cinetica e potenziale.

5. Cosa sono i gradi di libertà?
   Risposta: Numero minimo di coordinate indipendenti per descrivere completamente lo stato del