CORSO DI MECCANICA RAZIONALE: Meccanica Lagrangiana

Meccanica Lagrangiana

L’obiettivo didattico è introdurre e approfondire la formulazione lagrangiana del moto, mostrando come semplifichi lo studio di sistemi meccanici complessi, vincoli e simmetrie.

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1. Perché la formulazione lagrangiana?

La meccanica newtoniana usa forze e accelerazioni:

$$\vec{F} = m \vec{a}$$

Funziona perfettamente per sistemi semplici, ma diventa macchinosa con vincoli o molti gradi di libertà. Il formalismo lagrangiano cambia prospettiva: invece di forze, si considerano energie. Si definisce il lagrangiano:

$$\boxed{L(q, \dot{q}, t) = T(q, \dot{q}, t) - V(q, t)}$$

dove:

• $q$ sono le coordinate generalizzate del sistema,

• $\dot{q}$ le loro velocità generalizzate,

• $T$ energia cinetica,

• $V$ energia potenziale.

Vantaggi:

• Si lavora con scalari, non con vettori.

• Possibilità di scegliere coordinate comode (angoli, distanze…).

• Vincoli gestiti elegantemente.

• Simmetrie → quantità conservate (Teorema di Noether).

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2. Principio di d’Alembert e lavoro virtuale

Il lavoro virtuale rappresenta una piccola variazione istantanea della configurazione compatibile coi vincoli:

$$\delta W = \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i$$

Principio dei lavori virtuali (equilibrio statico):

$$\sum_i \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$$

Principio di d’Alembert (dinamico):

$$\sum_i (\mathbf{F}_i - m_i \mathbf{a}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$$

Da qui si costruisce l’azione e si ricavano le equazioni di Eulero–Lagrange.

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3. Coordinate generalizzate

Le coordinate generalizzate $q_i$ descrivono lo stato del sistema in modo scalare e spesso più comodo delle carte cartesiane.

Esempio: pendolo semplice: un unico angolo $\theta$.

Vantaggio: incorporano i vincoli, riducendo il numero di equazioni da risolvere.

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4. Costruire la Lagrangiana

1. Espressioni cartesiane delle masse in funzione di $q$.

2. Velocità in funzione di $\dot{q}$.

3. Energia cinetica $T$.

4. Energia potenziale $V$.

5. Lagrangiana $L = T - V$.

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5. Equazioni di Eulero–Lagrange

$$\boxed{\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0}$$

• $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}$: quantità coniugata alla velocità (momento lineare o angolare).

• Se $L$ non dipende da $t$: energia conservata.

Derivazione rapida: azione $S = \int L \, dt$. Principio di Hamilton: la variazione prima nulla → equazioni di Eulero–Lagrange.

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6. Sistemi vincolati e moltiplicatori di Lagrange

Vincoli: $f_\alpha(q,t) = 0$

• Eliminazione dei vincoli (coordinate indipendenti).

• Moltiplicatori di Lagrange:

$$\mathcal{L} = L(q, \dot{q}, t) + \sum_\alpha \lambda_\alpha f_\alpha(q, t)$$

Le $\lambda_\alpha$ rappresentano le forze reattive vincolari.

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7. Simmetrie e Teorema di Noether

Se $L$ è invariante rispetto a una trasformazione continua:

• Simmetria rotazionale → momento angolare conservato:

$$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot\phi} = \text{costante}$$

• Simmetria temporale → energia conservata:

$$E = \sum_j \dot q_j \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - L$$

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8. Esempi svolti

Esempio 1 — Pendolo semplice

• Lunghezza $l$, massa $m$, angolo $\theta$

Coordinate cartesiane:

$$x = l \sin\theta, \quad y = -l \cos\theta$$

Velocità:

$$\dot{x} = l \cos\theta \, \dot{\theta}, \quad \dot{y} = l \sin\theta \, \dot{\theta}$$

Energia cinetica:

$$T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2$$

Energia potenziale:

$$V = m g y = - m g l \cos\theta$$

Lagrangiana:

$$L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta$$

Equazione di Eulero-Lagrange:

$$\frac{d}{dt} \left( m l^2 \dot{\theta} \right) + m g l \sin\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0$$

Piccoli angoli:

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta(t) = \theta_0 \cos(\sqrt{g/l}\, t)$$

Periodo:

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

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Esempio 2 — Particella in potenziale centrale

• Coordinate polari: $r, \phi$

• Lagrangiana:

$$L = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2 \dot\phi^2) - V(r)$$

$\phi$ ignota → momento angolare conservato:

$$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot\phi} = m r^2 \dot\phi = \ell = \text{costante}$$

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Esempio 3 — Doppio pendolo

• Coordinate: $\theta_1, \theta_2$

• Lagrangiana costruita da posizioni, velocità, energia cinetica e potenziale.

• Equazioni di Eulero–Lagrange: due equazioni accoppiate non lineari.

• Mostra comportamento caotico per certe energie.

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Esempio 4 — Biglia su cerchio ruotante

• Vincolo radiale e forza centrifuga introdotta nella Lagrangiana.

• Metodo: coordinate angolari, calcolo energia cinetica e potenziale, applicazione Eulero-Lagrange.

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9. Esercizi

A) Pendolo semplice:

• Calcolare L, equazione del moto, periodo per piccoli angoli.

B) Particella in potenziale centrale:

• Mostrare che il momento angolare è costante.

C) Moltiplicatori di Lagrange:

• Massa scorre su barra vincolata a carrello, costruire Lagrangiana estesa con $\lambda$.

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10. Test di verifica

1. Scrivere equazione di Eulero–Lagrange:

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0$$

2. Se $L$ non dipende da $t$, quale quantità è conservata?

$$E = \sum_j \dot q_j \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - L$$

3. Perché usare coordinate generalizzate?

• Incorporano vincoli e semplificano il sistema.

4. Particella libera in coordinate cartesiane: $L = \frac{1}{2} m \dot x^2$ → equazione del moto:

$$m \ddot x = 0$$

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11. Approfondimenti concettuali

• $\frac{\partial L}{\partial \dot q}$: quantità coniugata alla veloc

ità.

• Teorema di Noether: simmetria → quantità conservata (energia, momento lineare, momento angolare).

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12. Attività didattiche

1. Costruire Lagrangiana per sistema a 2 gradi di libertà (es. massa su piano + pendolo).

2. Passaggio da $L$ alle equazioni di Eulero–Lagrange per il pendolo.

3. Visualizzare simmetrie e quantità conservate.

4. Laboratorio numerico: implementare doppio pendolo e osservare dinamica caotica.