PER UNA GAIA SCIENZA

Teoria dei Codici Obiettivi Fornire i fondamenti matematici dei codici per la correzione d’errori. Mostrare come costruire codici lineari, codici ciclici e codici di Hamming. Presentare metodi pratici di codifica e decodifica (sindrome, correzione). Eseguire esercizi numerici e simulazioni a mano per comprendere i meccanismi. 1. Concetti fondamentali e notazioni Lavoriamo su vettori binari F 2 n \mathbb{F}_2^n (campo finito con due elementi: 0 , 1 0,1 ; operazioni modulo 2). Un codice C C è un sottoinsieme non vuoto di F 2 n \mathbb{F}_2^n . Un codice lineare C C di lunghezza n n e dimensione k k è un sottospazio vettoriale di F 2 n \mathbb{F}_2^n di dimensione k k ; si indica come [ n , k ] [n,k] (talvolta [ n , k , d ] [n,k,d] includendo distanza minima d d ). Peso w ( v ) w(v) di un vettore v v = numero di componenti uguali a 1. Distanza di Hamming d ( u , v ) d(u,v) = peso di u − v u-v (operazione in F 2 \mathbb{F}_2 ); per un codice ...

Algebra Lineare Avanzata Autovalori e autovettori — diagonalizzazione — matrici simmetriche, SVD, applicazioni a sistemi dinamici e crittografia. Obiettivi Fornire strumenti teorici e computazionali per: calcolare autovalori/autovettori; decidere diagonalizzabilità; usare decomp. spettrali in applicazioni (es. stabilità di sistemi lineari, compressione, crittografia). Capire i risultati chiave: teorema spettrale, forma di Jordan, SVD e loro significato pratico. 1. Autovalori e autovettori — definizione e significato Per una matrice quadrata \(A\in\mathbb{K}^{n\times n}\) (con \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\)), un numero \(\lambda\in\mathbb{K}\) è un autovalore se esiste un vettore non nullo \(v\neq 0\) tale che \(\displaystyle A v = \lambda v.\) Il vettore \(v\) è un autovettore associato a \(\lambda\). Dal punto di vista geometrico \(A\) agisce moltiplicando la direzione \(v\) solo per lo scalare \(\lambda\), senza ruotarla (a meno di f...