Corso di matematica propedeutica alla fisica: 15 – Strumenti avanzati per la fisica moderna
15. Strumenti avanzati per la fisica moderna
📘 Spazi di Hilbert e operatori lineari
Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale complesso dotato di prodotto interno e completo rispetto alla norma indotta. È lo scenario matematico naturale della meccanica quantistica.
- Un vettore di stato quantico è rappresentato da un elemento |ψ⟩ appartenente allo spazio di Hilbert.
- Il prodotto interno ⟨φ|ψ⟩ definisce le probabilità di transizione tra stati.
P = |⟨φ|ψ⟩|²
⚙️ Autovalori e autofunzioni di un operatore
Un operatore lineare  agisce sui vettori dello spazio di Hilbert. Se esiste un vettore |ψ⟩ tale che:
 |ψ⟩ = a |ψ⟩
allora |ψ⟩ è un'autofunzione (o autovettore) e a è l’autovalore. Gli operatori rappresentano osservabili (energia, impulso, posizione) e gli autovalori corrispondono ai risultati misurabili.
Esempio: per un oscillatore armonico quantistico i livelli energetici discreti sono:
En = ħω (n + 1/2), n = 0,1,2,...
📝 Notazione di Dirac (cenni)
- Ket: |ψ⟩ rappresenta lo stato del sistema.
- Bra: ⟨ψ| è il duale associato.
- Bra-Ket: ⟨φ|ψ⟩ è il prodotto interno.
- Ket-Bra: |ψ⟩⟨ψ| è un operatore proiettore.
Esempio: probabilità di misurare lo stato |φ⟩ quando il sistema è in |ψ⟩:
P(φ) = |⟨φ|ψ⟩|²
⚛️ Applicazioni fisiche
1. Equazione di Schrödinger
Forma indipendente dal tempo:
Ĥ |ψ⟩ = E |ψ⟩
Forma dipendente dal tempo:
iħ ∂|ψ(t)⟩/∂t = Ĥ |ψ(t)⟩
2. Quantizzazione
Alcune grandezze assumono valori discreti. Per esempio, nell'atomo di idrogeno:
En = -13.6 eV / n² , n = 1,2,3,...
3. Stati quantici
Uno stato può essere una sovrapposizione di autostati:
|ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩ , con |α|² + |β|² = 1
Questo è il concetto fondamentale di qubit nell’informatica quantistica.
🧪 Esercizio svolto
Problema: particella in una buca di potenziale infinita 1D di larghezza L.
Gli autostati dell’Hamiltoniano sono:
ψn(x) = √(2/L) · sin(nπx/L), n = 1,2,3,...
Gli autovalori energetici corrispondenti:
En = (n² π² ħ²) / (2 m L²)
Esempio numerico:
- m = 9.11×10⁻³¹ kg (massa dell’elettrone)
- L = 1 nm = 1×10⁻⁹ m
Energia fondamentale (n=1):
E₁ ≈ 6.02 × 10⁻¹⁹ J ≈ 3.76 eV
Livello eccitato (n=2):
E₂ = 4E₁ ≈ 15.0 eV
Risultato: i livelli energetici sono quantizzati, non continui.
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