Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 4 Sistemi di equazioni
🧩 Sistemi di equazioni
Sistemi lineari con due incognite \(x\) e \(y\).
1️⃣ Metodo della Sostituzione
Esempio: 10 mele e pere, mele 2 in più:
\[ x + y = 10 \] \[ x - y = 2 \]Passaggi:
\[ x = 10 - y \] \[ (10 - y) - y = 2 \quad \Rightarrow \quad 10 - 2y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 4 \] \[ x = 10 - 4 = 6 \]✅ Soluzione: 6 mele, 4 pere.
2️⃣ Metodo del Confronto
Esempio: biblioteca con 50 libri, matematica supera fisica di 10:
\[ x + y = 50 \] \[ x - y = 10 \]Isoliamo \(x\):
\[ x = 50 - y \] \[ x = 10 + y \]Confrontiamo:
\[ 50 - y = 10 + y \quad \Rightarrow \quad 40 = 2y \quad \Rightarrow \quad y = 20 \] \[ x = 50 - 20 = 30 \]✅ Soluzione: 30 libri di matematica, 20 di fisica.
🟢 Matrici e Determinanti
Una matrice 2x2:
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \]Esempio reale: vendite di mele e pere:
| Mele | Pere | |
|---|---|---|
| Lunedì | 3 | 2 |
| Martedì | 4 | 5 |
Matrice:
\[ V = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \]Determinante:
\[ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c \]Esempio:
\[ \det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 7 \]✅ Determinante ≠ 0 → sistema ha soluzione unica.
Metodo di Cramer 2x2
Sistema:
\[ \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \]Determinante principale e sostitutivi:
\[ \Delta = \det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}, \quad \Delta x = \det \begin{pmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{pmatrix}, \quad \Delta y = \det \begin{pmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{pmatrix} \]Soluzioni:
\[ x = \frac{\Delta x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta y}{\Delta} \]Esempio cartoleria:
\[ 2x + y = 5, \quad 3x + 2y = 11 \] \[ \Delta = \det \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 1, \quad \Delta x = \det \begin{pmatrix}5 & 1 \\ 11 & 2 \end{pmatrix} = -1, \quad \Delta y = \det \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 3 & 11 \end{pmatrix} = 7 \] \[ x = -1, \quad y = 7 \]✅ Controllare sempre la realtà dei dati: prezzi negativi indicano errore.
Sistemi lineari 3×3
Sistema con tre incognite:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6\\ 2x - y + 3z = 14\\ -x + 4y - z = -2 \end{cases} \]Metodo di Cramer 3×3:
\[ \Delta = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & -1 \end{pmatrix}, \quad x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} \]Metodo di Sarrus
\[ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad \det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \]Esempio:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = 22 \]Eliminazione di Gauss
Matrice aumentata 3×3:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 & 14 \\ -1 & 4 & -1 & -2 \end{pmatrix} \]Passaggi:
\[ R2 \to R2 - 2R1, \quad R3 \to R3 + R1 \]Risolvere a ritroso per z, y, x.
Riduzione ai minori (cofattori)
\[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}) \]Esempio 3×3:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = 22 \]Sistemi con equazioni di grado superiore
Esempio:
\[ \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ 2x + 3y = 11 \end{cases} \]Strategia:
\[ x^2 + \frac{11 - 2x}{3} = 7 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 2x - 10 = 0 \]Esempio avanzato 4×4 con equazioni miste
\[ \begin{cases} x + y + z + w = 10\\ x^2 + y + z - w = 15\\ 2x - y + z^2 + w = 20\\ x + y^2 - z + w = 12 \end{cases} \]Strategia:
- Isolare una variabile
- Sostituire nelle altre tre equazioni → sistema 3×3 non lineare
- Calcolo numerico con Python, MATLAB, GeoGebra
Sistemi generali n×n
Forma matriciale:
\[ A \cdot X = B \]- X → vettore incognite
- B → termini noti
Metodi principali:
- Cramer – per n piccoli
- Sostituzione / confronto – per sistemi riducibili
- Eliminazione di Gauss – matrice triangolare superiore
- Software / calcolo numerico – Python (NumPy), MATLAB, Excel, GeoGebra
Condizione di esistenza della soluzione:
\[ \det(A) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \text{soluzione unica} \] \[ \det(A) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{nessuna soluzione o infinite soluzioni} \]
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