Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 4 Disequazioni

ottobre 16, 2025

🚦 Disequazioni: guida completa con esempi pratici

Una disequazione è un’espressione che stabilisce una relazione di disuguaglianza tra espressioni algebriche, indicando quali valori di una variabile soddisfano la condizione.

Simboli principali: <, >, ≤, ≥.

Esempio concreto: un treno deve percorrere 180 km in meno di 3 ore:

$x < 180/3 → x < 60 km/h$

Interpretazione: tutte le velocità inferiori a 60 km/h soddisfano la condizione.

🔹 1️⃣ Disequazioni di primo grado

Forma generale: ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0.

Procedura risolutiva:

Portare tutti i termini da un lato.
Dividere per il coefficiente di x (cambiare verso se negativo).
Scrivere l’intervallo di soluzioni.

Esempi pratici:

Arrivare in stazione entro 20 minuti, distanza 5 km:
$5/v < 20/60 → v > 15 km/h$
Prezzo minimo di un prodotto:
$p ≥ 50$
Quota massima partecipanti:
$x ≤ 30$
Velocità minima di sicurezza in galleria:
$v ≥ 60 km/h$

🔹 2️⃣ Disequazioni di secondo grado

Forma generale: ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c > 0.

Procedura:

Portare tutti i termini a sinistra.
Calcolare le radici della parabola (discriminante Δ = b² − 4ac).
Studiare il segno della parabola:
- a > 0 → parabola verso l’alto
- a < 0 → parabola verso il basso
Identificare gli intervalli di soluzione in base alle radici.

Esempi pratici:

Orto rettangolare con lato x, lunghezza 10 m, area ≤ 24 m²:
$x(10-x) ≤ 24 → -x^2 + 10x -24 ≤ 0$
Radici: $x=4$ e $x=6$ → Soluzione: $x ≤ 4 oppure x ≥ 6$
Aquilone: altezza tra 0 e 50 m; altezza minima sicurezza 10 m:
$-h^2 + 50h - 400 ≥ 0$
Radici: $h=10$ e $h=40$ → Soluzione: $10 ≤ h ≤ 40$
Progetto di ponte, carico massimo 200 t:
$-5x^2 + 80x - 300 ≤ 0$
Radici approssimative: $x≈5.52$ e $x≈10.87$ → Soluzione: $x ≤ 5.52 oppure x ≥ 10.87$
Produzione giornaliera con vincolo:
$2x^2 -12x +16 ≥ 0$
Radici: $x=2$ e $x=4$ → Soluzione: $x ≤ 2 oppure x ≥ 4$

🔹 3️⃣ Disequazioni con valore assoluto

Forma generale: |ax+b| < c, |ax+b| > c.

Procedura:

Scrivere i due casi: positivo e negativo.
Risolvi entrambe le disequazioni.
Interseca (<) o unisci (>) i risultati.

Esempi pratici:

Temperatura tra 18°C e 22°C:
$|T-20| < 2 → 18 < T < 22$
Errore massimo tollerato ±0,5 cm:
$|x-10| ≤ 0.5 → 9.5 ≤ x ≤ 10.5$
Velocità consentita ±5 km/h intorno a 50 km/h:
$|v-50| ≤ 5 → 45 ≤ v ≤ 55$
Quota massima ammissibile per pendolari:
$|p-100| < 20 → 80 < p < 120$

🔹 4️⃣ Disequazioni fratte (frazionarie)

Procedura:

Determinare il dominio (denominatore ≠ 0).
Portare tutti i termini a un lato.
Studiare segno numeratore e denominatore separatamente.
Combinare segni per ottenere intervallo finale.

Esempi pratici:

Dividere 12 dolci in pacchetti, massimo 4 dolci per pacchetto:
$12/x < 4 → x > 3$
Percorrere 100 km in meno di 2 h:
$100/t < 60 → t > 1.667 h$
Prezzo unitario massimo per 20 articoli:
$200/x ≤ 15 → x ≥ 14$
Rifornimento carburante: quantità per litro ≤ 50 €:
$Q/L ≤ 50 → L ≥ Q/50$

🔹 5️⃣ Sistemi di disequazioni

Concetto: intersezione (AND) o unione (OR) delle soluzioni di più disequazioni.

Procedura:

Risolvi ogni disequazione singolarmente.
Rappresenta su una retta.
Trova intersezione (AND) o unione (OR).

Esempi pratici:

Sistema lineare (budget): Budget 15€ per penne e quaderni:
$system example$
→ tutte le combinazioni nel primo quadrante sotto la retta.
Sistema misto (velocità): Correre tra 5 e 10 km, tempo ≥ 40 min:
$0.667 ≤ x ≤ 10$
→ soluzione: $0.667 ≤ x ≤ 10$ km/h
Sistema di secondo grado: Vincolo produzione:
$x^2 -6x +8 ≤ 0, x ≥ 1$
→ soluzione: $2 ≤ x ≤ 4$
Sistema complesso (esempio):
$2x+y ≤ 10, |x-3| ≤ 2, y ≥ 1$
→ combinazioni ammissibili soddisfano tutti e tre i vincoli.

📈 Disequazioni e sistemi esponenziali: guida completa con esempi pratici

Le disequazioni esponenziali coinvolgono funzioni del tipo a^f(x) e permettono di determinare quali valori di una variabile soddisfano una condizione in crescita o decrescita esponenziale.

Principio chiave: se a > 1 la funzione è crescente; se 0 < a < 1 è decrescente.

Forma generale:

$a^{f(x)} < b or a^{f(x)} ≥ b$

🔹 1️⃣ Disequazioni esponenziali semplici

Esempio 1: Crescita popolazione batterica

Legge: $N(t) = 100·2^t$

Determinare il tempo minimo perchè $N(t) > 800$

$100·2^t > 800 → t > 3$

Interpretazione: la popolazione supera 800 dopo più di 3 ore.

🔹 2️⃣ Disequazioni esponenziali con base frazionaria

Esempio 2: Decadimento radioattivo

Legge: $Q(t)=500·(1/2)^t$

Determinare $Q(t) < 50$

$500·(1/2)^t < 50 → t > log_{1/2}(0.1)$

Calcolo:

$log_{1/2}(0.1) = ln0.1/ln0.5 ≈ 3.32$

Quindi: dopo circa 3.32 giorni la quantità scende sotto 50 g.

🔹 3️⃣ Sistemi di disequazioni esponenziali

Esempio 3: Investimento e crescita del capitale

Capitali: $C1 and C2$

Cerchiamo l'intervallo in cui $C1 > C2 and C1 < 1500$

$t > ln1.2/ln1.05 ≈ 3.71$
$t < ln1.5/ln1.05 ≈ 8.45$

Intersezione: $3.71 < t < 8.45$

🔹 4️⃣ Applicazioni pratiche complete

Economia domestica: coupon aumenta il risparmio del 5% mese. Quando superare 150€ partendo da 100€?
$100·1.05^t > 150 → t > ln1.5/ln1.05 ≈ 8.45$
Fisica (raffreddamento): $T(t)=90·0.9^t$ . Quando $T(t) < 30$ ?
$t > ln(1/3)/ln0.9 ≈ 11.5$
Logistica: $T(n)=50·0.85^n$ . Quando $T(n) < 20$ ?
$n > ln0.4/ln0.85 ≈ 7.8$
Agricoltura: $N(t)=50·1.1^t$ . Quando $N(t) > 100$ ?
$t > ln2/ln1.1 ≈ 7.27$
Produzione: $C(t)=500·0.95^t$ . Quando $C(t) < 300$ ?
$t > ln0.6/ln0.95 ≈ 10.6$
Pianificazione eventi: $P(t)=200·0.9^t$ . Quando $P(t) < 100$ ?
$t > ln0.5/ln0.9 ≈ 6.58$
Controllo qualità: $E(t)=5·0.8^t$ . Quando $E(t) < 1$ ?
$t > ln0.2/ln0.8 ≈ 7.99$