Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 5 Disequazioni

🚦 Disequazioni: guida completa con esempi pratici

Una disequazione è un’uguaglianza che coinvolge un intervallo di valori, indicando quali valori di una variabile soddisfano la condizione.

Simboli principali: <, >, ≤, ≥.

Esempio concreto: un treno deve arrivare in meno di 3 ore per percorrere 180 km:

\[ x < \frac{180}{3} \Rightarrow x < 60 \text{ km/h} \]

Interpretazione: tutte le velocità inferiori a 60 km/h soddisfano la condizione.

🔹 1️⃣ Disequazioni di primo grado

Forma generale: ax+b < 0, ax+b > 0, ax+b ≤ 0, ax+b ≥ 0

Procedura risolutiva:

1. Portare tutti i termini da un lato.
2. Dividere per il coefficiente di x (cambiare verso se negativo).
3. Scrivere l’intervallo di soluzioni.

Esempi pratici:

• Arrivare in stazione entro 20 minuti, distanza 5 km:
  \[\frac{5}{v} < \frac{20}{60} \Rightarrow v > 15 \text{ km/h}\]
• Prezzo minimo di un prodotto 50€:
  \[ p \ge 50 \]
• Quota massima di partecipanti a una gita:
  \[ x \le 30 \]
• Velocità minima di sicurezza in galleria:
  \[ v \ge 60 \text{ km/h} \]

🔹 2️⃣ Disequazioni di secondo grado

Forma generale: ax²+bx+c < 0, ax²+bx+c > 0

Procedura:

1. Portare tutti i termini a sinistra.
2. Calcolare le radici della parabola.
3. Studiare il segno della parabola:
   • a > 0 → parabola verso l’alto
   • a < 0 → parabola verso il basso
4. Disegnare la parabola e identificare gli intervalli di soluzione.

Esempi pratici:

• Orto rettangolare lungo 10 m, area massima 24 m²:
  \[ x(10-x) \le 24 \Rightarrow -x^2 + 10x - 24 \le 0 \]
  Radici: x = 4 e x = 6 → Soluzione: x ≤ 4 oppure x ≥ 6
• Aquilone vola tra 0 e 50 m, altezza minima sicurezza 10 m:
  \[ -h^2 + 50h - 400 \ge 0 \]
  Radici: h = 10, h = 40 → Soluzione: 10 ≤ h ≤ 40
• Progetto di ponte, carico massimo 200 t:
  \[ -5x^2 + 80x - 300 \le 0 \]
  Radici: x ≈ 5.52, x ≈ 10.87 → Soluzione: x ≤ 5.52 oppure x ≥ 10.87
• Produzione giornaliera con vincolo di capacità:
  \[ 2x^2 - 12x + 16 \ge 0 \]
  Radici: x = 2, x = 4 → Soluzione: x ≤ 2 oppure x ≥ 4

🔹 3️⃣ Disequazioni con valore assoluto

Forma generale: |ax+b| < c, |ax+b| > c

Procedura:

1. Scrivere due casi: positivo e negativo.
2. Risolvi entrambe le disequazioni.
3. Interseca (<) o unisci (>) i risultati.

Esempi pratici:

• Temperatura tra 18°C e 22°C:
  \[ |T-20| < 2 \Rightarrow 18 < T < 22 \]
• Errore massimo tollerato ±0,5 cm:
  \[ |x-10| \le 0.5 \Rightarrow 9.5 \le x \le 10.5 \]
• Velocità consentita ±5 km/h intorno a 50 km/h:
  \[ |v-50| \le 5 \Rightarrow 45 \le v \le 55 \]
• Quota massima ammissibile per pendolari:
  \[ |p-100| < 20 \Rightarrow 80 < p < 120 \]

🔹 4️⃣ Disequazioni fratte (frazionarie)

Procedura:

1. Determinare il dominio (denominatore ≠ 0).
2. Portare tutti i termini a un lato.
3. Studiare segno numeratore e denominatore separatamente.
4. Combinare segni per ottenere intervallo finale.

Esempi pratici:

• Dividere 12 dolci in pacchetti, massimo 4 dolci per pacchetto:
  \[ \frac{12}{x} < 4 \Rightarrow x > 3 \]
• Percorrere 100 km in meno di 2 h:
  \[ \frac{100}{t} < 60 \Rightarrow t > 1.667 \text{ h} \]
• Prezzo unitario massimo per 20 articoli:
  \[ \frac{200}{x} \le 15 \Rightarrow x \ge 14 \]
• Rifornimento carburante: quantità per litro ≤ 50 €:
  \[ \frac{Q}{L} \le 50 \Rightarrow L \ge Q/50 \]

🔹 5️⃣ Sistemi di disequazioni

Concetto: intersezione (AND) o unione (OR) delle soluzioni di più disequazioni.

Procedura:

1. Risolvi ogni disequazione singolarmente.
2. Rappresenta su una retta.
3. Trova intersezione (AND) o unione (OR).

Esempi pratici:

• Sistema lineare: Budget 15€ per penne e quaderni:
  \[ \begin{cases} 1.5x + 3y \le 15 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases} \] → tutte le combinazioni nel primo quadrante sotto la retta.
• Sistema misto lineare e fratto: Correre tra 5 e 10 km, tempo ≥ 40 min:
  \[ \begin{cases} x \ge 40/60 \\ x \le 10/1 \end{cases} \] → soluzione: 0.667 ≤ x ≤ 10 km/h
• Sistema con valore assoluto: Pezzo macchina tra 9.5 e 10.5 cm, x ≥ 9:
  \[ \begin{cases} |x-10| \le 0.5 \\ x \ge 9 \end{cases} \] → 9.5 ≤ x ≤ 10.5
• Sistema di secondo grado: Vincolo produzione:
  \[ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 \le 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \] → soluzione: 2 ≤ x ≤ 4
• Sistema complesso: Budget e qualità:
  \[ \begin{cases} 2x + y \le 10 \\ |x-3| \le 2 \\ y \ge 1 \end{cases} \] → combinazioni ammissibili soddisfano tutti e tre i vincoli

📈 Disequazioni e sistemi esponenziali: guida completa con esempi pratici

Le disequazioni esponenziali coinvolgono funzioni del tipo a^x e permettono di determinare quali valori di una variabile soddisfano una condizione in crescita o decrescita esponenziale.

Simboli principali: <, >, ≤, ≥

Forma generale:
\( a^{f(x)} < b \quad \text{o} \quad a^{f(x)} \ge b \)

Principio chiave: se \( a > 1 \) la funzione è crescente, se \( 0 < a < 1 \) la funzione è decrescente, e il verso della disequazione cambia solo se necessario.

🔹 1️⃣ Disequazioni esponenziali semplici

Esempio 1: Crescita popolazione batterica

Una coltura batterica cresce secondo la legge \( N(t) = 100 \cdot 2^t \) (numero di batteri dopo t ore). Determinare il tempo minimo perché la popolazione superi 800 batteri.

Risoluzione:

\( 100 \cdot 2^t > 800 \Rightarrow 2^t > 8 \Rightarrow 2^t > 2^3 \Rightarrow t > 3 \)

Interpretazione: la popolazione supera 800 batteri dopo più di 3 ore.

🔹 2️⃣ Disequazioni esponenziali con base frazionaria

Esempio 2: Decadimento di una sostanza radioattiva

La quantità di una sostanza decresce secondo \( Q(t) = 500 \cdot (1/2)^t \) (t in giorni). Determinare dopo quanti giorni la quantità scende sotto 50 g.

Risoluzione:

\( 500 \cdot (1/2)^t < 50 \Rightarrow (1/2)^t < 0.1 \Rightarrow t > \log_{1/2}(0.1) \)

Calcolo: \(\log_{1/2}(0.1) = \frac{\ln 0.1}{\ln 0.5} \approx 3.32 \)

Interpretazione: la quantità scende sotto 50 g dopo circa 3.32 giorni.

🔹 3️⃣ Sistemi di disequazioni esponenziali

Esempio 3: Investimento e crescita del capitale

Un capitale cresce secondo \( C_1(t) = 1000 \cdot 1.05^t \) e \( C_2(t) = 1200 \cdot 1.03^t \). Trovare l’intervallo di tempo in cui \( C_1(t) > C_2(t) \) ma \( C_1(t) < 1500 \).

Risoluzione:

1. Prima disequazione: \( 1000 \cdot 1.05^t > 1200 \Rightarrow 1.05^t > 1.2 \Rightarrow t > \frac{\ln 1.2}{\ln 1.05} \approx 3.71 \) anni
2. Seconda disequazione: \( 1000 \cdot 1.05^t < 1500 \Rightarrow 1.05^t < 1.5 \Rightarrow t < \frac{\ln 1.5}{\ln 1.05} \approx 8.45 \) anni
3. Intersezione: \( 3.71 < t < 8.45 \)

Interpretazione: il capitale C1 supera C2 ma resta sotto 1500 tra circa 3.7 e 8.45 anni.

🔹 4️⃣ Applicazioni pratiche complete

• Economia domestica: Massimo di prodotti acquistabili. Es. risparmio cresce esponenzialmente con sconti cumulativi.

Problema: Un coupon aumenta il risparmio del 5% ogni mese. Partendo da 100€, in quanti mesi il risparmio supera 150€?

Soluzione: \( 100 \cdot 1.05^t > 150 \Rightarrow t > \frac{\ln 1.5}{\ln 1.05} \approx 8.45 \) mesi

• Fisica: Velocità o decadimento di particelle: es. legge esponenziale di raffreddamento.

Problema: Una bevanda a 90°C si raffredda secondo \( T(t) = 90 \cdot (0.9)^t \). Quando scende sotto 30°C?

Soluzione: \( 90 \cdot 0.9^t < 30 \Rightarrow 0.9^t < 1/3 \Rightarrow t > \frac{\ln(1/3)}{\ln 0.9} \approx 11.5 \) min

• Logistica: Ottimizzazione percorsi: es. tempo di consegna ridotto esponenzialmente con nuova tecnologia.

Problema: Tempo di consegna \( T(n) = 50 \cdot 0.85^n \), n cicli di ottimizzazione. Quando sarà inferiore a 20 minuti?

Soluzione: \( 0.85^n < 0.4 \Rightarrow n > \frac{\ln 0.4}{\ln 0.85} \approx 7.8 \) cicli

• Agricoltura e orti: Crescita piante: area disponibile o numero di frutti aumenta esponenzialmente.

Problema: Numero di piante N(t) = 50·1.1^t. Dopo quanti mesi supera 100 piante?

Soluzione: \( 1.1^t > 2 \Rightarrow t > \frac{\ln 2}{\ln 1.1} \approx 7.27 \) mesi

• Produzione industriale: Carichi massimi con decadimento sicurezza: C(t) = 500·0.95^t. Quando scende sotto 300?

Soluzione: \( 0.95^t < 0.6 \Rightarrow t > \frac{\ln 0.6}{\ln 0.95} \approx 10.6 \) unità temporali

• Pianificazione eventi: Numero massimo partecipanti ridotto esponenzialmente da rinunce: P(t) = 200·0.9^t, t giorni prima evento. Quando sotto 100?

Soluzione: \( 0.9^t < 0.5 \Rightarrow t > \frac{\ln 0.5}{\ln 0.9} \approx 6.58 \) giorni

• Controllo qualità: Tolleranza errore ridotto esponenzialmente: E(t) = 5·0.8^t mm. Quando sotto 1 mm?

Soluzione: \( 0.8^t < 0.2 \Rightarrow t > \frac{\ln 0.2}{\ln 0.8} \approx 7.99 \) cicli