Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 2 Equazioni

maggio 07, 2025

🔢 Equazioni

Obiettivi:

Imparare a risolvere equazioni e disequazioni elementari.
Comprendere il significato delle soluzioni numeriche e geometriche.
Applicare le conoscenze a contesti reali come economia, fisica e decisioni quotidiane.

📘 Cosa sono le equazioni?

Un’equazione è un’affermazione di uguaglianza tra due espressioni algebriche. In altre parole, esiste un valore per la variabile che rende entrambe le parti uguali.

Esempio concreto: Vuoi comprare biglietti da 7€ e hai 17€. Quanti biglietti puoi comprare?

Equazione:

$$ 7x = 17 $$

Risolvendo: $x = 17 / 7 \approx 2,43$. Interpretazione reale: puoi comprare 2 biglietti.

✳️ Tipologie di equazioni

1️⃣ Equazioni lineari (primo grado)

Forma generale: $$ax + b = c$$

Esempio: Dividere 20€ tra te e un amico, ma tu vuoi 2€ in più:

Sistema:

$$ x + (x + 2) = 20 $$

Risoluzione:

$$ 2x + 2 = 20 \quad \Rightarrow \quad 2x = 18 \quad \Rightarrow \quad x = 9 $$

✅ Soluzione: l’amico riceve 9€, tu 11€.

2️⃣ Equazioni quadratiche (secondo grado)

Forma generale: $$ax^2 + bx + c = 0$$

Esempio: calcolare il lato di un terreno quadrato con area 36 m²:

$$ x^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 36 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-6)(x+6) = 0 $$

Soluzioni: $x=6$ o $x=-6$. Interpretazione reale: $x=6$ m.

Formula generale:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

3️⃣ Equazioni con frazioni

Esempio: dividere 3 pizze tra amici, 1/2 pizza a testa:

$$ \frac{1}{2} x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 6 $$>

✅ 6 amici possono mangiare.

4️⃣ Equazioni con valore assoluto

Esempio: auto che può fermarsi a 5 metri dalla linea di stop:

$$ |x-10| = 5 $$

Soluzioni:

$$ x - 10 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 15 $$ $$ x - 10 = -5 \quad \Rightarrow \quad x = 5 $$>

5️⃣ Equazioni con parametri

Esempio: $kx + 3 = 9$:

$$ kx = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6}{k} $$>

📐 Significato geometrico

Equazioni lineari → rette, quadratiche → parabole.

Esempio:

$$ y = 2x + 1 \quad \text{(retta crescente)} $$ $$ y = x^2 - 4 \quad \text{(parabola, vertice (0,-4))} $$>

Approfondimento

Un’equazione di grado superiore al primo è un’equazione in cui l’incognita compare con esponente massimo maggiore di 1. Il grado è l’esponente più alto dell’incognita nella forma polinomiale.

🔹 Equazioni di secondo grado

Forma generale (con $a \ne 0$):

\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0 \]

Formula risolutiva

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina la natura delle soluzioni:

Se $\Delta > 0$: due soluzioni reali e distinte.
Se $\Delta = 0$: una soluzione reale doppia.
Se $\Delta < 0$: nessuna soluzione reale (soluzioni complesse coniugate).

Altri metodi di risoluzione

Completamento del quadrato: si riscrive $ax^2 + bx + c$ come $a(x - h)^2 + k$.
Scomposizione in fattori (quando possibile): si cerca $(x - r_1)(x - r_2)$.
Interpretazione grafica: intersezioni della parabola $y = ax^2 + bx + c$ con l’asse $x$.

Esempio

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-2)(x-3) = 0 \]

Soluzioni: $x=2$ e $x=3$.

🔹 Equazioni di terzo grado

Forma generale:

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0 \]

Metodi possibili

Scomposizione quando c’è almeno una radice “evidente” (Teorema/Ricerca di Ruffini).
Formula di Cardano (generale ma più complessa da applicare a mano).
Approccio grafico: studio qualitativo della curva cubica (presenza di flesso).

Esempio con fattorizzazione

\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \]

Proviamo valori interi: $x=1$ è radice. Dividendo per $x-1$:

\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3). \]

Soluzioni: $x=1,\; x=2,\; x=3$.

🔹 Equazioni di quarto grado

Forma generale:

\[ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a \ne 0 \]

Metodi possibili

Scomposizione in prodotti di quadratiche $(x^2+px+q)(x^2+rx+s)$ quando possibile.
Biquadratiche: forma $ax^4 + bx^2 + c = 0$ con sostituzione $y = x^2$.
Formula di Ferrari: metodo generale (più lungo e tecnico).

Esempio biquadratica

\[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \]

Poniamo $y = x^2$:

\[ y^2 - 5y + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (y-1)(y-4)=0 \quad \Rightarrow \quad y=1 \;\text{o}\; y=4. \]

Quindi $x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$ e $x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$.

Soluzioni: $x=\pm1,\; x=\pm2$.

🔹 Equazioni di grado superiore ($n \ge 5$)

Per gradi dal quinto in su non esiste una formula risolutiva generale per radicali (Teorema di Abel–Ruffini). Si usano approcci pratici:

Scomposizione (se individuabile), magari aiutandosi con grafico o congetture su radici semplici.
Ricerca di radici razionali (teorema di Ruffini) e divisione sintetica.
Metodi numerici (Newton–Raphson, bisezione, secanti) per approssimazioni accurate.
Software (CAS, calcolatrici grafiche, Python/Sympy, GeoGebra, MATLAB) per fattorizzazioni e zeri.

🔹 Generalizzazione: equazione di grado $n$

Forma generale:

\[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0, \quad a_n \ne 0. \]

Se $n=1$: equazione lineare → retta.
Se $n=2$: parabola.
Se $n=3$: cubica (curve con flesso).
Se $n=4$: quartica (forme più ricche, fino a 4 zeri reali).
Per $n \ge 5$: nessuna formula generale in radicali; si ricorre a fattorizzazioni e metodi numerici.

Collegamento geometrico generale

Il grado $n$ è il numero massimo di soluzioni reali (intersezioni con l’asse $x$).
Alcune soluzioni possono essere complesse (non visibili nel piano reale).
Per il Teorema Fondamentale dell’Algebra, ogni polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ zeri nel campo complesso (contando molteplicità).

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