Corso di Algebra Elementare e Strutture Algebriche: 5 Gruppi, Anelli e Campi

Introduzione a Gruppi, Anelli e Campi

Strutture algebriche fondamentali: definizioni rigorose, esempi, risultati chiave e applicazioni.

algebra astratta simmetrie crittografia codici correttivi

🎯 Obiettivi formativi

Comprendere come assiomi semplici (chiusura, associatività, elementi neutri e inversi, distributività) organizzino l’uso di somma e prodotto; collegare i modelli astratti a problemi reali in fisica, informatica e crittografia.

1) Gruppi: la struttura delle simmetrie

Definizione. Un gruppo è una coppia \( (G,\circ) \) dove \( G \) è un insieme e \( \circ \) è un’operazione binaria \( G\times G\to G \) tale che, per ogni \( a,b,c\in G \):

• Chiusura: \( a\circ b\in G \).
• Associatività: \( (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c) \).
• Elemento neutro: esiste \( e\in G \) con \( a\circ e=e\circ a=a \) per ogni \( a \).
• Inverso: per ogni \( a \) esiste \( a^{-1}\in G \) con \( a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e \).

Se inoltre \( a\circ b=b\circ a \) per tutti \( a,b \), il gruppo è abeliano.

Esempi base.

• \( (\mathbb{Z},+) \) è un gruppo abeliano: neutro \(0\), inverso di \(a\) è \(-a\).
• Le rotazioni del quadrato attorno al centro formano un gruppo finito \( C_4=\{0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ\} \) con l’operazione “composizione”.
• Le permutazioni di \( n \) oggetti formano il gruppo simmetrico \( S_n \) (non abeliano per \( n\ge 3 \)).

Sottogruppi. Un sottoinsieme \( H\subseteq G \) è un sottogruppo se è non vuoto e chiuso per prodotti e inversi. Criterio pratico (per gruppi finiti): \( H \) è sottogruppo se è non vuoto e chiuso per il prodotto.

Teorema di Lagrange. Se \( G \) è finito e \( H\le G \), allora \( |H| \) divide \( |G| \). In particolare, l’ordine di ogni elemento \( a\in G \) divide \( |G| \).

Corollario (Piccolo Teorema di Fermat, via gruppi). Per primo \( p \) e \( a\not\equiv 0\pmod p \), nell’anello \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) vale \( a^{p-1}\equiv 1\pmod p \) perché \( (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times \) è un gruppo di ordine \( p-1 \).

Omomorfismi e primo teorema di isomorfismo. Un omomorfismo di gruppi \( \varphi:G\to H \) soddisfa \( \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \). Il nucleo \( \ker\varphi=\{g:\varphi(g)=e_H\} \) è un sottogruppo normale e \[ G/\ker\varphi \;\cong\; \mathrm{Im}\,\varphi. \]

Esempio svolto (gruppo ciclico e ordini). Sia \( G=C_{12}=\langle r\rangle \). L’ordine di \( r^k \) è \( \frac{12}{\gcd(12,k)} \). Quindi: \( \mathrm{ord}(r^3)=4 \), \( \mathrm{ord}(r^4)=3 \), \( \mathrm{ord}(r^6)=2 \).

2) Anelli: due operazioni insieme

Definizione (con unità). Un anello \( (R,+,\cdot) \) è tale che \( (R,+) \) è un gruppo abeliano, \( \cdot \) è associativa e valgono le due distributività: \[ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\qquad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c. \] Se esiste \( 1\in R \) con \( 1\cdot a=a\cdot 1=a \), diciamo “anello con unità”; se \( \cdot \) è commutativa, “anello commutativo”.

Esempi.

• \( (\mathbb{Z},+,\cdot) \): anello commutativo con unità.
• \( M_2(\mathbb{R}) \): anello con unità, non commutativo.
• \( \mathbb{Z}[x] \): anello dei polinomi a coefficienti interi.

Ideali e omomorfismi. Un ideale \( I\lhd R \) è un sottogruppo additivo tale che \( rI, Ir\subseteq I \) per ogni \( r\in R \) (nei commutativi basta \( rI\subseteq I \)). Il quoziente \( R/I \) è un anello. Per un omomorfismo di anelli \( \phi:R\to S \), vale: \[ R/\ker\phi \;\cong\; \mathrm{Im}\,\phi. \]

Domini e fattorizzazione. Un dominio d’integrità è un anello commutativo con \(1\neq 0\) senza divisori dello zero. In un PID (anello a ideali principali, es. \( \mathbb{Z} \) e \( \mathbb{F}[x] \)), ogni ideale è \( (a) \); in un UFD la fattorizzazione in irriducibili è unica (a permutazione e unità). Tutti i PID sono UFD.

Esempio svolto (quoziente e resto). In \( \mathbb{Z} \), dato \( a,b\neq 0 \), esistono e sono unici \( q,r \) con \( a=bq+r \) e \( 0\le r<|b| \). In \( \mathbb{Z}[x] \) vale l’analogo con grado del resto minore del divisore non nullo.

3) Campi: quando si può anche dividere

Definizione. Un campo \( (K,+,\cdot) \) è un anello commutativo con unità in cui ogni elemento \( a\neq 0 \) è invertibile rispetto al prodotto. Esempi classici: \( \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \).

Campi finiti. Per primo \( p \), \( \mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) è un campo: ogni classe \( \overline{a}\neq \overline{0} \) ha inverso perché esistono interi \( u,v \) con \( au+pv=1 \) (algoritmo euclideo esteso), dunque \( \overline{a}\cdot\overline{u}=\overline{1} \).

Esistenza e unicità dei campi finiti. Per ogni potenza \( q=p^n \) (con \( p \) primo) esiste un campo finito di ordine \( q \), unico a isomorfismo vicino, denotato \( \mathbb{F}_q \). L’estensione si realizza come \( \mathbb{F}_p[x]/(f) \) con \( f \) irriducibile di grado \( n \).

Esempio svolto (inversi modulo 5). In \( \mathbb{F}_5 \): \( 2^{-1}\equiv 3 \) perché \( 2\cdot 3=6\equiv 1\pmod 5 \); \( 3^{-1}\equiv 2 \); \( 4^{-1}\equiv 4 \).

4) Applicazioni essenziali

Fisica delle simmetrie. I gruppi (di rotazioni, Lorentz, gauge) codificano le leggi di conservazione e le simmetrie delle interazioni fondamentali.

Crittografia. RSA opera nell’anello \( \mathbb{Z}_n \) (con \( n=pq \)) e usa la struttura del gruppo moltiplicativo \( (\mathbb{Z}_n)^\times \); AES usa il campo \( \mathbb{F}_{2^8} \) (operazioni su byte come elementi di un campo finito).

Codici correttivi. I codici lineari (Hamming, Reed–Solomon) sono spazi vettoriali su \( \mathbb{F}_q \); la decodifica usa polinomi su campi finiti.

Giochi e robotica. Il cubo di Rubik è modellato da sottogruppi di \( S_{48} \) (sui tasselli), le mosse sono elementi di un gruppo; pianificazione e simmetrie sfruttano la struttura di gruppo.

5) Esercizi guidati (con soluzioni)

E1 (verifica di gruppo). Mostrare che \( (\mathbb{Z},\cdot) \) non è un gruppo: gli inversi non esistono in generale (es. \( 2 \) non ha inverso intero per il prodotto).

E2 (sottogruppi di \( \mathbb{Z} \)). Mostrare che ogni sottogruppo di \( (\mathbb{Z},+) \) è della forma \( d\mathbb{Z} \) con \( d\ge 0 \). Idea: preso un sottogruppo non banale, il minimo intero positivo che contiene genera tutto il sottogruppo.

E3 (Lagrange applicato). Nel gruppo di rotazioni del triangolo equilatero \( C_3 \), gli ordini possibili sono \( 1 \) e \( 3 \); ogni rotazione non banale ha ordine \( 3 \).

E4 (ideali in \( \mathbb{Z} \)). Gli ideali di \( \mathbb{Z} \) sono tutti \( (d)=d\mathbb{Z} \). Dim. Se \( I\neq\{0\} \) contiene un intero positivo minimo \( d \), allora \( I=(d) \) perché ogni \( a\in I \) soddisfa \( a=qd+r \) con \( 0\le r

E5 (inverso con Euclideo esteso). Trovare l’inverso di \( 7 \) modulo \( 26 \). Soluzione. \( 26=3\cdot 7+5 \), \( 7=1\cdot 5+2 \), \( 5=2\cdot 2+1 \) \(\Rightarrow\) \( 1=5-2\cdot 2=5-2(7-1\cdot 5)=3\cdot 5-2\cdot 7=3(26-3\cdot 7)-2\cdot 7=3\cdot 26-11\cdot 7 \). Quindi \( -11\cdot 7\equiv 1\pmod{26} \Rightarrow 7^{-1}\equiv 15 \pmod{26} \).

6) Test di verifica (auto-correzione)

1. Definizione di gruppo. Quale condizione non è richiesta in un gruppo? A) Commutatività B) Associatività C) Esistenza del neutro D) Esistenza degli inversi.
   Risposta: A.
2. Campo finito. Perché \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \) è un campo?
   Risposta: Perché ogni classe non nulla ha inverso moltiplicativo (esistenza via algoritmo euclideo esteso).
3. Anelli non commutativi. Dare un esempio.
   Risposta: \( M_2(\mathbb{R}) \) con il prodotto di matrici.
4. Isomorfismo di gruppi. Se \( \varphi:G\to H \) è suriettivo, cosa dice il primo teorema?
   Risposta: \( G/\ker\varphi \cong H \).
5. Ordine di un elemento. Nell’anello \( \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} \), qual è l’ordine moltiplicativo di \( 2 \)?
   Soluzione breve: è il minimo \( k \) con \( 2^k\equiv 1\pmod{11} \); si trova \( k=10 \) (gruppo ciclico di ordine \( 10 \)).

7) Attività pratiche

• Verifica di struttura. Dato un insieme con un’operazione, verifica gli assiomi: chiusura (per casi), associatività (per tabelle finite), neutro e inverso (costruzione esplicita).
• Cubo di Rubik. Mostra che ogni mossa ha inversa; verifica che la composizione è associativa; identifica il neutro (nessuna mossa).
• Calcolo in \( \mathbb{F}_5 \). Esegui \( 3+4\equiv 2 \), \( 2\cdot 3\equiv 1 \), trova \( 4^{-1}\equiv 4 \).
• Polinomi su \( \mathbb{F}_2 \). Calcola \( (x^2+x+1)(x+1) \) in \( \mathbb{F}_2[x] \) e riduci modulo \( x^3+x+1 \) (esercizio tipico per AES).

Appendice tecnica: formule utili

Tabelle dei resti in \( \mathbb{F}_5 \).

\[ \begin{array}{c|ccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2\\ 4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} \]

Isomorfismi tipici. Per \( n\ge 1 \), \[ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \cong \begin{cases} C_{\varphi(n)} & \text{se } n\in\{1,2,4,p^k,2p^k \text{ con } p \text{ primo dispari}\},\\ \text{prodotto di ciclici} & \text{in generale (teorema di struttura).} \end{cases} \]

Costruzione di \( \mathbb{F}_{p^n} \). Se \( f\in \mathbb{F}_p[x] \) è irriducibile di grado \( n \), allora \( \mathbb{F}_{p^n}\cong \mathbb{F}_p[x]/(f) \). Gli elementi sono classi di polinomi di grado < \( n \); somma e prodotto sono presi modulo \( f \).

🧭 Conclusione

Gruppi, anelli e campi sono la grammatica della matematica moderna: il linguaggio delle simmetrie, dell’aritmetica astratta e del calcolo su strutture discrete. Comprenderne gli assiomi, gli esempi e i teoremi di base significa disporre degli strumenti concettuali alla base di fisica teorica, crittografia e scienza dell’informazione.