Corso di Fondamenti di Matematica e Logica: 3 Insiemi Relazioni e Funzioni

Insiemi, Relazioni e Funzioni

🎯 Obiettivi Formativi

• Introdurre il linguaggio insiemistico come strumento fondamentale della matematica.
• Comprendere la nozione di relazione come legame tra elementi di insiemi diversi o dello stesso insieme.
• Introdurre il concetto di funzione come caso particolare di relazione.
• Saper rappresentare insiemi, relazioni e funzioni mediante simboli, linguaggi grafici e diagrammi.

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📚 Contenuti

✅ 1. Insiemi

Un insieme è una collezione ben definita di oggetti (detti elementi) considerati come un tutto. Si indicano con lettere maiuscole (A, B, C…) e gli elementi con lettere minuscole.

• Appartenenza:
  Se un elemento x appartiene all’insieme A si scrive:
  x ∈ A; se non appartiene: x ∉ A.

• Rappresentazioni:

  • Elencazione: A = {1, 2, 3}
  • Proprietà caratteristica: B = {x ∈ ℕ | x < 5}

• Sottoinsiemi:
  A è sottoinsieme di B (A ⊆ B) se ogni elemento di A è anche in B.

• Insiemi numerici fondamentali:

  • ℕ (numeri naturali)
  • ℤ (interi)
  • ℚ (razionali)
  • ℝ (reali)
  • ℂ (complessi)

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🔄 2. Operazioni tra insiemi

• Unione (A ∪ B): Tutti gli elementi che sono in A o in B (o in entrambi).
• Intersezione (A ∩ B): Elementi comuni ad A e B.
• Differenza (A \ B): Elementi di A che non sono in B.
• Complementare (Aᶜ): Tutti gli elementi che non appartengono ad A rispetto a un insieme universo U.

Esempio pratico
Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, allora:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
A ∩ B = {2, 3}
A \ B = {1}
B \ A = {4}

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🔗 3. Relazioni

Una relazione è un'associazione tra elementi di due insiemi. Formalmente, una relazione R da A a B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B.

Proprietà fondamentali (su relazioni in A):

• Riflessiva: ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R
• Simmetrica: Se (x, y) ∈ R, allora anche (y, x) ∈ R
• Transitiva: Se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, allora (x, z) ∈ R

Esempio di relazione su ℕ:
“essere maggiore o uguale a” (≥): riflessiva e transitiva, ma non simmetrica.

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🔁 4. Funzioni

Una funzione è una relazione particolare che associa a ogni elemento di un insieme A (dominio) uno e un solo elemento dell’insieme B (codominio).

Notazione:
f: A → B dove f(a) = b

Componenti:

• Dominio (A): insieme di partenza
• Codominio (B): insieme di arrivo
• Immagine: sottoinsieme del codominio effettivamente "raggiunto"

Esempio:
f(x) = x²

• Dominio: ℝ
• Codominio: ℝ
• Immagine: ℝ⁺₀ (numeri reali positivi e zero)

Grafici:

• Rappresentazione cartesiana (piano xy)
• Diagrammi freccia
• Tabelle di corrispondenza

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🧪 Attività Pratiche

🎨 1. Diagrammi di Eulero-Venn

• Rappresentazione visiva degli insiemi e delle loro relazioni: perfetto per concetti come unione, intersezione, sottoinsiemi, insiemi disgiunti.
• Obiettivo: rafforzare la comprensione intuitiva degli insiemi e delle operazioni.

Esempio: A = {alunni che praticano calcio}, B = {alunni che praticano nuoto}

🧩 2. Creazione di Relazioni

• Dato un insieme A (persone) e un insieme B (età), costruire relazioni:
  • “è più vecchio di”
  • “ha la stessa età di”

🛠️ 3. Funzioni dalla realtà

• Es. Funzione età → pensionamento
  • Dominio: {30, 40, 50, 60, 65, 70}
  • Regola: f(x) = “sì” se x ≥ 67, “no” altrimenti
  • Tipo: funzione logica binaria

📈 4. Costruzione di grafici

• Dati insiemi numerici, tracciare sul piano cartesiano funzioni semplici:
  • f(x) = x
  • f(x) = x²
  • f(x) = |x|

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🧠 Verifica / Test finale (esempi)

Domande chiuse a scelta multipla o diagrammi interattivi (con codice eventualmente incorporabile):

1. Se A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, qual è A ∪ B?
   a) {1, 2}
   b) {1, 2, 3, 4, 5} ✅
   c) {3}
   d) {1, 2, 5}

2. Quale tra queste è una funzione?
   a) {(1,2), (2,3), (1,4)}
   b) {(a,b), (b,a), (a,a)}
   c) {(1,2), (2,3), (3,4)} ✅

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📌 Conclusione

Il modulo su insiemi, relazioni e funzioni è fondamentale per strutturare il pensiero logico e rappresentare informazioni complesse in modo rigoroso. Con un approccio pratico e visivo (diagrammi, esempi concreti, funzioni reali), si facilitano apprendimento e applicazione anche in contesti quotidiani e interdisciplinari (scienze, informatica, economia).