Corso di Geometria e Trigonometria: 1 Geometria Euclidea Fondamenti


🧭 GEOMETRIA EUCLIDEA – FONDAMENTI

🎯 Obiettivi formativi

  • Comprendere i concetti base della geometria euclidea piana.
  • Acquisire padronanza del linguaggio geometrico: termini, simboli, relazioni.
  • Saper utilizzare strumenti classici (riga, compasso) o digitali (GeoGebra) per costruzioni geometriche.
  • Applicare la geometria all’analisi di oggetti, strutture e spazi reali.
  • Iniziare alla logica dimostrativa e all’argomentazione matematica.

📘 1. Punti, rette, piani: concetti primitivi e postulati

✅ Definizioni fondamentali

  • Punto: concetto primitivo, privo di dimensioni, indicato con una lettera maiuscola (es. A).
  • Retta: insieme infinito di punti allineati, ha una sola dimensione. Si indica con lettere minuscole o con due punti appartenenti (es. retta AB).
  • Piano: superficie bidimensionale infinita, contenente infinite rette e punti.

🧱 I primi postulati di Euclide:

  1. Per due punti passa una e una sola retta.
  2. Ogni segmento può essere prolungato indefinitamente in una retta.
  3. Dato un punto e una distanza, si può descrivere un cerchio.
  4. Tutti gli angoli retti sono congruenti.
  5. (Postulato delle parallele): per un punto esterno a una retta, passa una e una sola parallela a essa.

✏️ Esempio + esercizio svolto 1

Obiettivo: costruire due rette parallele passando da definizione a costruzione.

Procedura:

  1. Traccia la retta r.
  2. Scegli un punto P fuori da r.
  3. Con la squadra, costruisci una parallela a r passante per P.
  4. Verifica: gli angoli alterni interni risultano congruenti.

✅ Conclusione: se ∠1 = ∠2 ⇒ le due rette sono parallele.

📗 2. Segmenti e angoli

📏 Segmenti

  • Parte di retta compresa tra due punti A e B.
  • Lunghezza del segmento AB = distanza tra i punti.

📐 Angoli

  • Formati da due semirette con origine comune (vertice).

Classificazione:

  • Acuto < 90°
  • Retto = 90°
  • Ottuso > 90° e < 180°
  • Piatto = 180°
  • Giro = 360°

➕ Proprietà importanti:

  • Angoli opposti al vertice sono sempre congruenti.
  • La bisettrice divide un angolo in due parti uguali.

✏️ Esercizio svolto 2

Traccia un angolo di 70° con il goniometro. Costruisci la bisettrice con riga e compasso.

Procedura sintetica:

  1. Traccia l’arco con centro nel vertice.
  2. Segna i punti in cui l’arco incontra i lati.
  3. Da quei punti, traccia archi uguali che si intersecano.
  4. Unisci il vertice con il punto d’intersezione.

📌 Verifica: ciascuno dei due angoli ottenuti misura 35°.

📕 3. Poligoni: triangoli, quadrilateri, poligoni regolari

🔺 Triangoli

  • Poligoni con 3 lati.

Classificazione per lati:

  • Equilatero (3 lati uguali)
  • Isoscele (2 lati uguali)
  • Scaleno (nessun lato uguale)

Per angoli:

  • Acutangolo, rettangolo, ottusangolo.

🧮 Teorema della somma degli angoli interni

In ogni triangolo, la somma degli angoli interni è 180°.

📏 Esercizio svolto 3

In un triangolo, due angoli misurano 50° e 60°. Calcola il terzo.

📐 Soluzione:
180° − (50° + 60°) = 70°

🔷 Quadrilateri

  • Parallelogramma, rettangolo, rombo, quadrato, trapezio.

Proprietà notevoli:

  • Rettangolo: angoli retti e lati opposti congruenti.
  • Rombo: lati uguali, diagonali perpendicolari.
  • Quadrato: unisce le proprietà del rettangolo e del rombo.
  • Trapezio: ha solo una coppia di lati paralleli.

🛑 Poligoni regolari

  • Lati e angoli congruenti.
  • Possiedono simmetrie multiple.
  • Es. pentagono regolare, esagono regolare.

💡 Il pentagono regolare è visibile nell’architettura rinascimentale (es. Palazzo Farnese).

📙 4. Criteri di congruenza e similitudine

🔄 Congruenza

Due figure sono congruenti se coincidenti sovrapponendole.

Criteri per i triangoli:

  • Lato-lato-lato (LLL)
  • Lato-angolo-lato (LAL)
  • Angolo-lato-angolo (ALA)

✏️ Esercizio svolto 4

Due triangoli hanno due lati congruenti e l’angolo tra essi uguale. Sono congruenti?
✅ Sì, per il criterio LAL.

🔁 Similitudine

Figure che hanno angoli uguali e lati in proporzione.

Criteri:

  • AA (due angoli uguali)
  • Lato-lato-lato in proporzione
  • Lato-angolo-lato in proporzione

🔎 Le figure simili sono fondamentali in prospettiva artistica e architettura.

📘 5. Teoremi base

📏 Teorema della somma degli angoli interni

  • In ogni poligono con n lati:
    Somma = (n − 2) × 180°

✏️ Esercizio: in un ottagono regolare?
(8 − 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°

🔺 Teorema della disuguaglianza triangolare

In un triangolo, la somma di due lati è sempre maggiore del terzo.

📌 Se i lati sono a = 4, b = 5, c = 10 →
4 + 5 = 9 < 10 ❌ → non è un triangolo valido.

🧰 Attività pratiche

✍️ Costruzioni geometriche con riga e compasso

  • Bisettrice, mediana, altezza, perpendicolare da un punto esterno.
  • Costruzione di poligoni regolari (triangolo equilatero, esagono).

💻 Versione digitale con GeoGebra

  • Verifica dinamica delle proprietà (rotazioni, riflessioni).
  • Esplorazione interattiva dei criteri di congruenza e similitudine.

🌍 Analisi geometrica di forme nella natura e nell’architettura

  • L’alveare e l’esagono naturale.
  • Le cupole geodetiche di Fuller e i pentagoni esagonali.
  • Prospettive geometriche nei quadri di Piero della Francesca.

📝 Conclusione e compito finale

Compito:

  • Scegli una figura architettonica o naturale (es. fiore, edificio, oggetto d’arte).
  • Analizzane gli elementi geometrici: lati, angoli, simmetrie, poligoni coinvolti.
  • Realizza uno schizzo geometrico con misure approssimate o esatte.

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