Corso di Geometria e Trigonometria: 2 Circonferenza Cerchio e Teoremi Fondamentali

Circonferenza, Cerchio e Teoremi Fondamentali

---

🎯 Obiettivi Didattici

• Comprendere a fondo la differenza tra cerchio e circonferenza.
• Analizzare proprietà e misure fondamentali: area, lunghezza, angoli.
• Conoscere e saper applicare i principali teoremi relativi alla circonferenza.
• Riconoscere le posizioni reciproche tra rette e circonferenze, tra due circonferenze.
• Applicare le conoscenze in costruzioni geometriche e in problemi di calcolo.
• Sviluppare capacità di visualizzazione e ragionamento geometrico, anche con strumenti digitali.

---

📚 Contenuti Teorici

🔹 1. Cerchio e Circonferenza: Definizioni e Proprietà

• Circonferenza: luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.
• Cerchio: insieme dei punti della circonferenza e di quelli al suo interno.
• Misure fondamentali:
  • Raggio (r), diametro (d = 2r)
  • Lunghezza della circonferenza:
  • Area del cerchio:
• Angolo al centro vs angolo alla circonferenza:
  • L’angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco.

---

🔹 2. Teoremi Fondamentali

📏 Angolo Inscritto

• Un angolo inscritto in una circonferenza è sempre la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
• Tutti gli angoli inscritti che insistono sullo stesso arco sono uguali.

📏 Teorema della Corda

• In una stessa circonferenza, corde congruenti sottendono archi congruenti e viceversa.
• Una corda perpendicolare al diametro passa per il centro.

📏 Teorema delle Tangenti

• Una tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio condotto al punto di tangenza.
• Due tangenti tracciate da un punto esterno a una circonferenza sono congruenti.

---

🔹 3. Posizioni Relative

• Retta – Circonferenza:
  • Secante (interseca in due punti)
  • Tangente (interseca in un solo punto)
  • Esterna (non interseca)
• Due Circonferenze:
  • Esterne (nessun punto in comune)
  • Tangenti esternamente (un punto in comune)
  • Secanti (due punti in comune)
  • Tangenti internamente (un punto in comune)
  • Interne (una interna all’altra, nessun punto in comune)

---

🔹 4. Applicazioni Geometriche

• Costruzione di figure: triangoli e quadrilateri inscritti e circoscritti.
• Problemi di area e perimetro:
  • Settori circolari
  • Segmenti circolari
  • Corone circolari
• Problemi inversi: dato il perimetro, trovare il raggio, ecc.

---

🧪 Attività Pratiche

✏️ A. Dimostrazioni Intuitive e Visive

• Uso del compasso per mostrare la definizione di circonferenza.
• Costruzione di angoli inscritti e verifica del teorema con righello e goniometro.
• Verifica empirica delle corde congruenti.
• Disegni su carta millimetrata per evidenziare rapporti tra archi, angoli e corde.

💻 B. Problemi con Strumenti Digitali (GeoGebra)

• Simulazioni dinamiche:
  • Variazione dell’angolo al centro e alla circonferenza.
  • Verifica della tangente perpendicolare al raggio.
• Costruzione di tangenti da un punto esterno.
• Rappresentazione di circonferenze tangenti tra loro o a una retta.
• Animazioni per esplorare proprietà geometriche in tempo reale.

📐 C. Laboratorio di Costruzione

• Costruzione con riga e compasso:
  • Tangenti, corde, poligoni inscritti.
• Problemi pratici:
  • Calcolare area occupata da una ruota.
  • Progettare un’aiuola circolare con sentiero tangente.

---

🧠 Verifica e Consolidamento

• Domande a risposta aperta e chiusa sui teoremi.
• Esercizi di calcolo (lunghezza, area, angoli).
• Compiti di realtà: es. calcolo della superficie di una fontana rotonda, progettazione di un orologio circolare.
• Autovalutazione con GeoGebra: ricostruzione delle dimostrazioni.

---

🧭 Estensioni Interdisciplinari

• Storia della matematica: Archimede e il calcolo del π.
• Arte e geometria: rosoni, mandala, architetture con archi e cerchi.
• Educazione stradale: ruote, rotonde, segnali circolari.

---

📌 Materiali Necessari

• Righello, compasso, goniometro
• Carta da disegno, fogli quadrettati
• PC o tablet con GeoGebra installato o disponibile online