Corso di Geometria e Trigonometria: 4 Trigonometria


Trigonometria

🎯 Obiettivi didattici

  • Comprendere le funzioni trigonometriche fondamentali (seno, coseno, tangente) e le loro proprietà.
  • Apprendere le principali identità trigonometriche e utilizzarle per semplificare espressioni.
  • Risolvere problemi pratici mediante la trigonometria, incluso il calcolo di distanze, angoli e altezze in situazioni reali.
  • Applicare teoremi trigonometrico-geometrici nella risoluzione di triangoli qualsiasi.

📚 Contenuti teorici

1. Angoli

  • Unità: gradi (°) e radianti (rad)
  • Conversioni: 180° = π rad → 1° = π/180 rad
  • Angoli orientati: positivi (antiorario), negativi (orario)

2. Funzioni trigonometriche

  • Definizioni su cerchio unitario: sin = ordinata, cos = ascissa, tan = sin/cos
  • Grafici:
    • sin(x): periodo 2π, tra -1 e 1
    • cos(x): simile a sin, parte da 1
    • tan(x): asintoti verticali, periodo π

3. Identità notevoli

  • Addizione:
    • sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)
    • cos(a±b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)
  • Duplicazione:
    • sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
    • cos(2a) = cos²(a) − sin²(a)
  • Complementarietà:
    • sin(90°−x) = cos(x), cos(90°−x) = sin(x)

4. Teorema dei seni e del coseno

  • Seni: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)
  • Coseno: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ)

5. Risoluzione triangoli

  • L-L-L, L-L-A, A-A-L...
  • Strategie: teoremi, somma angoli, disegno

🧠 Esercizi svolti

Esercizio 1: Converti 120° in radianti
→

Esercizio 2: sin(30°), cos(60°), tan(45°)
→ 1/2, 1/2, 1

Esercizio 3: sin(75°)
→ sin(45+30) = sin(45)cos(30) + cos(45)sin(30)

Esercizio 4: Teorema del coseno
a=5, b=7, γ=60° → c² = 25 + 49 − 35 = 39 → c ≈ 6.24

Esercizio 5: Teorema dei seni
a=8, α=45°, β=60° → b ≈ 9.8

🧪 Attività pratiche

Triangolazioni:

  • Torre:
  • Fiume: triangolazione da due punti

Applicazioni:

  • Acustica: angoli di incidenza/riflessione
  • Onde: decomposizione sinusoidale
  • Navigazione: triangolazioni GPS
  • Giochi: animazioni, salti, traiettorie

📌 Verifica

  • Risoluzione triangoli
  • Applicazioni pratiche
  • Grafici e cerchio goniometrico


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