Corso di matematica propedeutica alla fisica: 13 – Probabilità e statistica

13. Probabilità e Statistica 

1. Variabili casuali: definizioni essenziali

• Una variabile casuale discreta $X$ assume un insieme numerabile di valori $x_i$ con probabilità $P(X=x_i)=p_i$ (PMF — probability mass function), con $\sum_i p_i = 1$.

• Una variabile casuale continua $X$ è descritta da una densità $f_X(x)$ (PDF — probability density function) tale che per ogni intervallo $A$:
  $P(X \in A) = \int_A f_X(x)\,dx, \qquad f_X(x)\ge 0,\quad \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx =1.$

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2. Valore atteso e varianza (discrete e continue)

Definizioni

• Valore atteso (esperanza) di $X$:

  • discreto: $\displaystyle \mathbb{E}[X] = \sum_i x_i p_i$.

  • continuo: $\displaystyle \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\, f_X(x)\,dx.$

• Varianza:

  $$\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\big[(X - \mathbb{E}[X])^2\big] = \mathbb{E}[X^2] - \big(\mathbb{E}[X]\big)^2.$$

Proprietà utili

• linearità dell’attesa: $\mathbb{E}[aX + bY + c] = a\mathbb{E}[X] + b\mathbb{E}[Y] + c$.

• se $X,Y$ indipendenti: $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)$.

Esempio (discreto — calcolo passo-passo)
Sia $X$ con valori $0,1,2$ e probabilità $0.2,0.5,0.3$.
Calcolo dell’aspettazione:

$$\mathbb{E}[X] = 0\cdot 0.2 + 1\cdot 0.5 + 2\cdot 0.3 = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1.$$

Calcolo di $\mathbb{E}[X^2]$:

$$\mathbb{E}[X^2] = 0^2\cdot0.2 + 1^2\cdot0.5 + 2^2\cdot0.3 = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7.$$

Varianza:

$$\operatorname{Var}(X)=1.7-(1.1)^2 = 1.7 - 1.21 = 0.49.$$

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3. Distribuzioni principali

3.1 Bernoulli e Binomiale

• $X\sim\operatorname{Bern}(p)$:

  $$P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p;\quad \mathbb{E}[X]=p,\quad \operatorname{Var}(X)=p(1-p).$$

• $X\sim\operatorname{Bin}(n,p)$:

  $$P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},\quad k=0,\dots,n.$$ $$\mathbb{E}[X]=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).$$

Esempio (Binomiale): $n=10$, $p=0.3$. Probabilità di $X=3$:

$$P(X=3)=\binom{10}{3} (0.3)^3 (0.7)^7 \approx 0.266827932 \quad(\approx 0.2668).$$

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3.2 Poisson

• $X\sim\operatorname{Pois}(\lambda)$:

  $$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,\dots$$ $$\mathbb{E}[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda.$$

• Limite: Binomiale $B(n,p)$ con $n\to\infty$, $p\to0$, $np\to\lambda$ → $\operatorname{Pois}(\lambda)$.

Esempio: $\lambda=3$. Probabilità di osservare $k=5$:

$$P(X=5) = e^{-3}\frac{3^5}{5!} \approx 0.1008188 \quad(\approx 10.08\%).$$

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3.3 Esponenziale (tempo di attesa)

• Se $X$ è il tempo fino a un evento (processo di Poisson) con parametro $\lambda>0$:

  $$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0.$$ $$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}.$$

• Memoria nulla: $P(X>t+s\mid X>t)=P(X>s)$.

Esempio: $\lambda=0.5$ (eventi medi ogni 2 ore). Probabilità che l’attesa superi 3 ore:

$$P(X>3)=e^{-0.5\cdot 3}=e^{-1.5}\approx 0.22313.$$

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3.4 Normale (Gaussiana)

• $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$:

  $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\,\sigma^2}} \exp\!\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big).$$ $$\mathbb{E}[X]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X)=\sigma^2.$$

• Standardizzazione: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)$.
  Usata per calcolare probabilità tramite tavole o funzioni cumulative $\Phi(z)$.

Central Limit Theorem (CLT)
Sia $X_1,\dots,X_n$ iid con media $\mu$ e varianza finita $\sigma^2$. Allora, per $n$ grande:

$$\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1).$$

Questo giustifica le approssimazioni normali alle somme e alle medie campionarie.

Esempio (CLT applicato a proporzioni)
Sia $X$ binomiale con $n=100$, $p=0.3$. La proporzione campionaria $\hat p = X/n$ ha approssimativamente

$$\hat p \approx \mathcal{N}\!\Big(p,\; \frac{p(1-p)}{n}\Big).$$

Probabilità che $\hat p>0.35$:

• media $=0.3$,

• deviazione standard $= \sqrt{\frac{0.3\cdot0.7}{100}} \approx 0.045827$,

• $z = \frac{0.35-0.3}{0.045827}\approx 1.09109$.
  Da tavola: $P(\hat p>0.35)\approx 0.1376$ (≈13.8%).

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4. Cenni di statistica inferenziale

Stima puntuale e intervallare

• Stimatore $\hat\theta$ (es.: media campionaria $\bar X$) per parametro $\theta$.

• Bias: $\operatorname{Bias}(\hat\theta) = \mathbb{E}[\hat\theta] - \theta$. Stimatore non distorto se bias = 0.

• Errore standard: deviazione standard dello stimatore; per la media campionaria, se la varianza della popolazione è $\sigma^2$,

  $$\operatorname{SE}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$

Intervallo di confidenza per la media (σ noto)

$$\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$

Esempio: $\bar X=5$, $\sigma=2$, $n=25$, livello 95%: $z_{0.025}=1.96$.

$$\mathrm{ME} = 1.96\cdot\frac{2}{\sqrt{25}} = 1.96\cdot 0.4 = 0.784.$$

Quindi CI $= (5-0.784,\; 5+0.784) = (4.216,\; 5.784)$.

Test d’ipotesi (schema)

• ipotesi nulla $H_0$ vs ipotesi alternativa $H_a$.

• calcolo statistica del test (es.: $z$ o $t$) e $p$-value.

• decisione con soglia $\alpha$ (es.: 0.05).

MLE (Maximum Likelihood Estimation) — esempio per esponenziale
Sia $x_1,\dots,x_n$ campione da $f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}$ per $x\ge 0$.
Log-likelihood:

$$\ell(\lambda)= n\ln\lambda - \lambda\sum_{i=1}^n x_i.$$

Derivando e imponendo zero:

$$\frac{d\ell}{d\lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum x_i = 0 \quad\Rightarrow\quad \hat\lambda = \frac{n}{\sum_{i} x_i}.$$

Esempio numerico: dati $1.2,\;0.8,\;2.5$ (ore). $\sum x_i=4.5$, $n=3$ ⇒ $\hat\lambda = 3/4.5 \approx 0.6667$ (per ora).

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5. Propagazione delle incertezze (teoria degli errori di misura)

Per una funzione $y=f(x_1,\dots,x_n)$ con misure indipendenti $x_i$ e varianze $\sigma_{x_i}^2$, la varianza approssimata di $y$ (prima approssimazione lineare) è:

$$\operatorname{Var}(y) \approx \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2$$

(aggiungere termini di covarianza se le misure sono correlate).

Esempio: $R = L/W$ con $L=10.0\pm0.1$ cm, $W=2.0\pm0.05$ cm, indipendenti.

• $R = L/W = 5.0$.

• $\partial R/\partial L = 1/W = 0.5$.

• $\partial R/\partial W = -L/W^2 = -10/4 = -2.5$.

Varianza di $R$:

$$\operatorname{Var}(R) \approx (0.5)^2(0.1)^2 + (-2.5)^2(0.05)^2 = 0.25\cdot 0.01 + 6.25\cdot 0.0025 = 0.0025 + 0.015625 = 0.018125.$$

Deviazione standard: $\sigma_R \approx \sqrt{0.018125}\approx 0.13463$.
Quindi $R = 5.00 \pm 0.13$ (circa).

Errore standard della media (esempio)
Dati di misura: $10.2,\;9.8,\;10.5,\;9.9,\;10.1$.

• Media: $\bar x = 10.1$.

• Deviazione standard campionaria $s \approx 0.27386$.

• Errore standard della media: $\mathrm{SE} = s/\sqrt{n} \approx 0.27386/\sqrt{5}\approx 0.12247$.
  Quindi la stima della media è $10.1 \pm 0.12$ (SE).

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6. Applicazioni fisiche

6.1 Meccanica statistica: distribuzioni termiche

Nel contesto di un gas ideale classico, la statistica di Maxwell–Boltzmann descrive la distribuzione delle velocità delle particelle.

Distribuzione delle velocità (modulo della velocità $v$)

$$f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2 \exp\!\Big(-\frac{m v^2}{2k_B T}\Big),\qquad v\ge 0,$$

dove $m$ è la massa della particella, $k_B$ la costante di Boltzmann, $T$ la temperatura.

Momenti e velocità caratteristiche

• velocità più probabile (moda):

  $$v_{\text{mp}} = \sqrt{\frac{2k_B T}{m}}.$$

• velocità media:

  $$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}.$$

• velocità quadratica media (rms):

  $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}.$$

Derivazione sintetica (utilizzo della funzione Γ)
Si usa l’integrale generale

$$\int_0^\infty x^{n} e^{-a x^2}\,dx = \frac{1}{2} a^{-(n+1)/2}\,\Gamma\!\Big(\frac{n+1}{2}\Big),$$

per calcolare $\int_0^\infty v^{2} e^{-a v^2}\,dv$, $\int_0^\infty v^{3} e^{-a v^2}\,dv$, ecc.

Esempio numerico (aria secca: N$_2$)
Per l’azoto molecolare $N_2$ (massa molare $M=0.028\ \mathrm{kg/mol}$), massa molecolare $m=M/N_A$ con $N_A$ numero di Avogadro. A $T=300\ \mathrm{K}$:

• $v_{\text{mp}}\approx 422.10\ \mathrm{m/s}$,

• $\langle v \rangle\approx 476.29\ \mathrm{m/s}$,

• $v_{\text{rms}}\approx 516.96\ \mathrm{m/s}$.

(I valori numerici si ottengono inserendo $k_B=1.380649\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ e $m=M/N_A$.)

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6.2 Distribuzione di Maxwell–Boltzmann e energia

L’energia cinetica per grado di libertà ha distribuzione esponenziale collegata all’energia media $\frac{1}{2}k_B T$ per grado di libertà (teorema dell’equipartizione dell’energia).

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7. Esempi applicativi rapidi

• Radioattività: numero di decadimenti in un intervallo $t$ spesso modellato come Poisson. Se il tasso medio è $\lambda=3$ decadimenti/minuto, la probabilità di 5 decadimenti in un minuto è $\approx0.1008$.

• Tempi di attesa: processi Poisson → tempi esponenziali; memoria nulla utile per modelli di code.

• Misure sperimentali: utilizzare l’errore standard per combinare misure; la propagazione lineare degli errori è spesso sufficiente.

• Campionamento e CLT: anche quando la distribuzione originale non è gaussiana, la media di molte osservazioni tende alla gaussiana; questo giustifica l’uso di CI normali per grandi $n$.

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Bibliografia essenziale (testi consigliati)

• W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol.1 — classico sulla teoria delle probabilità.

• A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, Probability, Random Variables and Stochastic Processes — riferimento per applicazioni fisiche.

• C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods — utile per processi continui e rumore.

• K. Huang, Statistical Mechanics — per distribuzioni termiche e Maxwell–Boltzmann.

• Testi di statistica applicata (es.: M. Casella & R. L. Berger, Statistical Inference) per inferenza e MLE.