Corso di matematica propedeutica alla fisica: 4 Limiti

4 – Limiti: definizione, concetti ed esempi

1. Introduzione ai limiti

Il concetto di limite è fondamentale in analisi matematica e serve a studiare il comportamento di una funzione quando la variabile indipendente si avvicina a un certo valore. È alla base delle nozioni di continuità, derivata e integrale.

Pensiamo a una funzione f(x). Anche se non possiamo calcolare il valore di f(x) in un certo punto x₀, possiamo comunque studiare come si comporta quando x si avvicina a x₀.

Il limite ci permette di formalizzare proprio questo concetto.

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2. Definizione informale di limite

In modo intuitivo, diciamo che:

lim (x → x₀) f(x) = L

se, avvicinandoci sempre di più a x₀, i valori di f(x) diventano arbitrariamente vicini a L.

Esempio informale

Consideriamo f(x) = 2x + 1 e calcoliamo:

• Se x = 2.9, allora f(x) = 6.8
• Se x = 2.99, allora f(x) = 6.98
• Se x = 3.01, allora f(x) = 7.02

Quando x si avvicina a 3, f(x) si avvicina a 7. Quindi:

lim (x → 3) (2x + 1) = 7

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3. Definizione formale (ε–δ)

Un limite si definisce rigorosamente così:

lim (x → x₀) f(x) = L se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che
0 < |x - x₀| < δ ⟹ |f(x) - L| < ε.

- ε (epsilon) rappresenta quanto vicino vogliamo essere al limite L.
- δ (delta) indica quanto vicino deve essere x a x₀ per soddisfare la condizione.

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4. Limite destro e limite sinistro

Il comportamento di una funzione può essere diverso se ci avviciniamo da destra o da sinistra.

• Limite destro: lim (x → x₀⁺) f(x)
• Limite sinistro: lim (x → x₀⁻) f(x)

Il limite esiste solo se i due valori coincidono.

Esempio

Definiamo:

f(x) = { x + 1   se x < 2
       { 3       se x ≥ 2

Limite sinistro in 2: lim (x → 2⁻) f(x) = 3
Limite destro in 2: lim (x → 2⁺) f(x) = 3
Quindi lim (x → 2) f(x) = 3.

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5. Limiti notevoli

Alcuni limiti sono particolarmente utili:

• lim (x → 0) (sin x / x) = 1
• lim (x → 0) ((1 - cos x) / x) = 0
• lim (x → ∞) (1/x) = 0

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6. Esercizi svolti

Esercizio 1

Calcolare lim (x → 4) (x² - 2x).

Soluzione:

Sostituiamo x = 4:
4² - 2·4 = 16 - 8 = 8
Quindi lim (x → 4) (x² - 2x) = 8.

Esercizio 2

Calcolare lim (x → 0) (sin x / x).

Soluzione:

Questo è un limite notevole: = 1.

Esercizio 3 (limite laterale)

f(x) = { 2x    se x < 1
       { x+1   se x ≥ 1

Calcolare lim (x → 1) f(x).

Soluzione:

• Limite sinistro: lim (x → 1⁻) f(x) = 2·1 = 2
• Limite destro: lim (x → 1⁺) f(x) = 1+1 = 2

Poiché coincidono: lim (x → 1) f(x) = 2.

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✅ In questo modulo hai imparato:

• a distinguere tra definizione informale e formale di limite,
• a calcolare limiti con esempi numerici,
• a riconoscere limiti destri e sinistri,
• a usare i limiti notevoli nei calcoli.