Corso di matematica propedeutica alla fisica: 8 – Serie e sviluppo in serie

8 - Serie e sviluppo in serie

🔹 1. Introduzione rapida

Una serie è la somma di una sequenza di termini:
S = a_0 + a_1 + a_2 + ... = ∑_{n=0}^∞ a_n.
La domanda fondamentale: la somma converge a un valore finito o diverge (va all’infinito o non ha limite)?

Le serie incontrano la fisica ovunque: dall’espansione di funzioni (Taylor) alla scomposizione di segnali periodici (Fourier). Saper riconoscere la convergenza e usare sviluppi in serie è indispensabile per approssimare soluzioni, stimare errori e analizzare spettri.

🔹 2. Serie numeriche: definizioni e criteri di convergenza

Definizione (somma parziale)

S_n = a_0 + a_1 + ... + a_n.
La serie converge se il limite lim_{n→∞} S_n esiste (finito).

Test rapidi (lista essenziale)

1. Condizione necessaria (term test): se lim_{n→∞} a_n ≠ 0, allora la serie diverge.

2. Serie geometrica: ∑ r^n converge se |r| < 1 (somma = 1/(1-r)), diverge se |r| ≥ 1.

   • Esempio: ∑_{n=0}^∞ (1/3)^n = 1/(1-1/3)=3/2=1.5.

3. P-series: ∑ 1/n^p converge ⇔ p > 1.

   • Esempio: p=2 → converge; valore noto ∑_{n=1}^\infty 1/n^2 = π^2 / 6 ≈ 1.644934066848.

4. Test del rapporto (d’Alembert): Se L = lim_{n→∞} |a_{n+1}/a_n|:

   • L < 1 ⇒ convergenza assoluta;

   • L > 1 ⇒ divergenza;

   • L = 1 ⇒ inconclusivo.

5. Test della radice (Cauchy): L = limsup_{n→∞} n√|a_n| analogo al rapporto.

6. Test di confronto: confronta con serie note (≥0).

7. Serie alternata / criterio di Leibniz: ∑ (-1)^n b_n con b_n ↓ 0 ⇒ converge (fornisce anche stima dell’errore).

▶ Esempio svolto 1 — Serie geometrica

Calcolare S = ∑_{n=0}^\infty (1/3)^n.

• |1/3| < 1, quindi converge.

• S = 1/(1 - 1/3) = 1/(2/3) = 3/2 = 1.5.

▶ Esempio svolto 2 — p-series (p=2)

Valuta la convergenza di ∑_{n=1}^\infty 1/n^2.

• p = 2 > 1 ⇒ la serie converge.

• Risultato classico (Euler): ∑ 1/n^2 = π^2 / 6 ≈ 1.644934066848.
  (valore numerico arrotondato: 1.644934066848)

▶ Esercizio svolto 3 — serie alternata

∑_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} / n

• Termini b_n = 1/n diminuiscono e vanno a 0 ⇒ criterio di Leibniz applicabile.

• La serie converge (condizionatamente) al valore ln 2 ≈ 0.69314718056.
  (valore numerico: 0.69314718056)

🔹 3. Serie di potenze, raggio di convergenza

Una serie di potenze centrata in x_0 ha forma:

∑_{n=0}^∞ c_n (x - x_0)^n.

Esiste un raggio di convergenza R ≥ 0: converge per |x - x_0| < R, diverge per |x - x_0| > R.
Si determina con il test del rapporto o della radice:

• R = 1 / limsup_{n→∞} n√|c_n| (formula radice).

• Oppure, se L = lim |c_{n+1}/c_n| esiste, R = 1/L.

▶ Esempio — esponenziale (serie di potenze)

e^x = ∑_{n=0}^∞ x^n / n! — raggio R = ∞ (converge per tutti x).

🔹 4. Sviluppo di Taylor e Maclaurin (con resto)

Sviluppo (Maclaurin) di una funzione f analitica attorno a x=0:

f(x) = ∑_{n=0}^N f^{(n)}(0)/n! · x^n  + R_{N+1}(x),

dove R_{N+1} è il resto (forma di Lagrange):

R_{N+1}(x) = f^{(N+1)}(ξ) / (N+1)! · x^{N+1}

per qualche ξ fra 0 e x.

▶ Esempio svolto 4 — approssimare e^1 con polinomio di grado 3

Polinomio P_3(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 = 2.666666666667.

• Calcolo preciso:

  • 1 = 1

  • 1/2 = 0.5

  • 1/6 ≈ 0.166666666667

  • Somma: 1 + 1 + 0.5 + 0.166666666667 = 2.666666666667.

Valore esatto e ≈ 2.718281828459.
Errore reale: e - P_3 = 0.051615161792 (≈ 0.051615161792).

Resto con Lagrange (massimo per 0 ≤ ξ ≤ 1):
R_4 ≤ e / 4! = e / 24 ≈ 0.113261742852 (quindi l’errore reale è ≤ 0.11326; la stima è valida e abbastanza grossolana ma garantita).

(Valori numerici arrotondati: e ≈ 2.718281828459, P_3(1) ≈ 2.666666666667.)

🔹 5. Serie di Fourier (cenni): idea, formule, ed esempio classico

Una serie di Fourier su [-π, π]:

f(x) ~ a_0/2 + ∑_{n=1}^∞ [ a_n cos(nx) + b_n sin(nx) ]

con coefficienti

a_n = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) cos(nx) dx
b_n = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) sin(nx) dx.

(Se il periodo è 2L, sostituisci π con L e nx con nπx/L.)

Le serie di Fourier scompongono segnali periodici nelle loro armoniche: il cuore dell’analisi spettrale.

▶ Esempio svolto 5 — funzione f(x)=x su (-π,π) (serie di tipo sawtooth)

f(x)=x è dispari ⇒ a_n = 0 per ogni n, solo seni b_n non nulli.

Calcolo (integrazione, passo chiave):

b_n = (1/π) ∫_{-π}^{π} x sin(nx) dx = 2 (−1)^{n+1} / n.

Quindi la serie è:

x = 2 ∑_{n=1}^∞ (−1)^{n+1} (sin(nx) / n).

Usando la formula di Parseval per f(x)=x si ricava anche il famoso risultato:

∑_{n=1}^∞ 1/n^2 = π^2 / 6.

(la derivazione è diretta: applicando Parseval si ottiene una somma di b_n^2 che porta alla serie ∑ 1/n^2).

🔹 6. Applicazioni fisiche (collegate)

• Oscillatore armonico: soluzioni sinusoidali; la scomposizione in frequenze è immediata usando serie o trasformata di Fourier.

• Onde periodiche ed elettromagnetismo: campi periodici si scompongono in armoniche; il comportamento di filtri e risonatori si studia per singola armonica.

• Analisi spettrale dei segnali: decomposizione di segnali temporali in frequenze; in quantistica il principio di sovrapposizione si lega a espansioni in autostati (serie / integrali).

Esempio pratico: se una forza periodica F(t) è data, puoi leggere la risposta di un sistema lineare riga per riga (ogni armonica risponde con la sua ampiezza e fase).

🔹 7. Esercizi svolti (passo-passo) — utili per verificare la padronanza

Esercizio A — determina la convergenza di ∑ n! / 10^n

Soluzione: applica il test del rapporto.
a_n = n! / 10^n.
Calcola a_{n+1}/a_n = (n+1)!/10^{n+1} · 10^n / n! = (n+1)/10.
Limite L = lim_{n→∞} (n+1)/10 = ∞ (>1) ⇒ la serie diverge molto chiaramente.

Esercizio B — verifica che ∑ (-1)^{n+1}/√n converge o diverge

Soluzione: serie alternata con b_n = 1/√n che è monotona decrescente e b_n → 0. Per il criterio di Leibniz la serie converge.
Ma ∑ |(-1)^{n+1}/√n| = ∑ 1/√n è una p-series con p = 1/2 ≤ 1 ⇒ diverge. Quindi abbiamo convergenza condizionata, non assoluta.

Esercizio C — approssimare e con P_3(1) e stimare l’errore (già svolto in precedenza)

Risultati numerici (verificati):

• P_3(1) = 2.666666666667

• e ≈ 2.718281828459

• Errore reale ≈ 0.051615161792

• Resto (stima) ≤ e/4! ≈ 0.113261742852

Esercizio D — parziale Fourier / applicazione pratica

Calcola i primi tre coefficienti b_1, b_2, b_3 per f(x)=x su (-π,π):

• b_n = 2 (−1)^{n+1} / n
  Quindi:

  • b_1 = 2 (−1)^{2} / 1 = 2 · 1 / 1 = 2? Attenzione al segno: (-1)^{1+1}=(-1)^2=1 ⇒ b1 = 2/1 = 2.

  • b_2 = 2 (-1)^{3} / 2 = 2 (−1)/2 = −1.

  • b_3 = 2 (-1)^{4} / 3 = 2 / 3 ≈ 0.666666666667.

Quindi i primi tre termini di x sono:

x ≈ 2·sin(x) − 1·sin(2x) + (2/3)·sin(3x) + ...

🔹 8. Esercizi proposti (da svolgere) — con breve soluzione indicativa

1. Test di convergenza: ∑ (−1)^n / n^{0.8} → converge condizionatamente (Leibniz), perché 1/n^{0.8} ↓ 0 ma ∑ 1/n^{0.8} diverge.

2. Raggio di convergenza: trova il raggio di ∑ n! x^n → usa rapporto: |(n+1)! x^{n+1} / (n! x^n)| = (n+1)|x| → L = ∞ unless x=0, perciò R = 0 (converge solo per x=0).

3. Taylor: calcola P_4(x) di ln(1+x) intorno a 0 e stima l’errore per x=0.5. (Usa derivazioni successive e la forma del resto).

4. Fourier pratico: per la funzione periodica definita f(x)=1 su (0,π) e f(x)=-1 su (-π,0) (onda quadra), calcola i coefficienti b_n e scrivi la serie. Confronta la prima somma parziale con la funzione (Gibbs phenomenon).

5. Fisica: data una forza periodica F(t)=∑ F_n cos(nω_0 t), mostra come la risposta dell’oscillatore smorzato si calcola armonica per armonica.

🔹 10. Tabella riepilogativa rapida (comandi/principi)

• Condizione necessaria: a_n → 0 è necessaria per convergenza.

• Geometrica ∑ r^n → converge se |r|<1.

• p-series ∑ 1/n^p → converge se p>1.

• Rapporto L = lim |a_{n+1}/a_n| → L<1 assoluta convergenza, L>1 divergenza.

• Radice L = limsup n√|a_n| → analog.

• Leibniz per alternanti: monotonia + limite 0 ⇒ converge.

• Taylor remainder (Lagrange): R_{N+1}(x) = f^{(N+1)}(ξ) x^{N+1} / (N+1)!.

🔚 Conclusione e risorse pratiche

Questo modulo fornisce tutti gli strumenti teorici e pratici per riconoscere, lavorare e applicare serie in problemi di fisica e ingegneria: criteri di convergenza, serie di potenze e sviluppi di Taylor, fino alla scomposizione di segnali con le serie di Fourier. Gli esempi numerici mostrano come usare le stime del resto per valutare l’accuratezza delle approssimazioni. Le piccole grafiche SVG sono pronte da incollare in Blogger per dare un supporto visivo.