Corso di matematica propedeutica alla fisica: 10 – Equazioni differenziali ordinarie (ODE)

10. Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE)

1. Definizione

Un’equazione differenziale ordinaria (ODE) è un’equazione che contiene una funzione incognita y(x) e una o più delle sue derivate rispetto alla variabile indipendente x.

2. Equazioni del primo ordine

🔹 Separabili

Forma generale:
dy/dx = g(x)·h(y)

Separando le variabili:
(1/h(y)) dy = g(x) dx

Esempio:
dy/dx = x·y

Separiamo: (1/y) dy = x dx
Integrando: ln|y| = (x²)/2 + C
Soluzione: y(x) = C·e^(x²/2)

🔹 Lineari del primo ordine

Forma:
y' + P(x)·y = Q(x)

Si usa il fattore integrante:
μ(x) = e^(∫P(x) dx)

Esempio:
y' – y = e^x

Fattore integrante: μ(x) = e^(–x)
Riscrivendo: (y·e^(–x))' = 1
Integrando: y·e^(–x) = x + C
Soluzione: y(x) = (x + C)·e^x

🔹 Equazioni esatte

Forma:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Condizione di esattezza:
∂M/∂y = ∂N/∂x

Esempio:
(2xy) dx + (x²) dy = 0

M = 2xy, N = x²
∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x → condizione soddisfatta

Funzione potenziale: F(x,y) = x²·y
Soluzione: F(x,y) = C

📗 Equazioni del secondo ordine

3. Equazioni lineari a coefficienti costanti

Forma generale:
a·y'' + b·y' + c·y = 0

Equazione caratteristica:
a·r² + b·r + c = 0

• Due radici reali distinte: y = C1·e^(r1·x) + C2·e^(r2·x)

• Radici reali coincidenti: y = (C1 + C2·x)·e^(r·x)

• Radici complesse: y = e^(αx)(C1·cos(βx) + C2·sin(βx))

Esempio:
y'' + 2y' + y = 0
Caratteristica: r² + 2r + 1 = (r + 1)²
Soluzione: y = (C1 + C2·x)·e^(–x)

4. Sistemi di ODE lineari

Forma matriciale:
y' = A·y

Esempio:
x' = 3x + 4y
y' = –4x + 3y

Matrice: A = [[3, 4], [–4, 3]]
Autovalori: λ = 3 ± 4i

Soluzione:
x(t) = e^(3t)(C1·cos(4t) + C2·sin(4t))
y(t) = e^(3t)(–C1·sin(4t) + C2·cos(4t))

⚙️ 5. Applicazioni fisiche

• Oscillatore armonico semplice
  m·y'' + k·y = 0
  Frequenza naturale: ω = √(k/m)

• Pendolo (piccole oscillazioni)
  θ'' + (g/l)·θ = 0

• Circuito RC
  R·C·(dV/dt) + V = V0

• Circuito RLC
  L·i'' + R·i' + (1/C)·i = V(t)

👉 Fenomeni come smorzamento (quando R > 0) e risonanza (quando la forzante ha frequenza uguale a ω0 = 1/√(LC)).