Corso di matematica propedeutica alla fisica: 10 – Equazioni differenziali ordinarie (ODE)

10. Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE)

1. Definizione

Un’equazione differenziale ordinaria (ODE) è un’equazione che contiene una funzione incognita y(x) e una o più delle sue derivate rispetto alla variabile indipendente x.

2. Equazioni del primo ordine

🔹 Separabili

Forma generale:
dy/dx = g(x)·h(y)

Separando le variabili:
(1/h(y)) dy = g(x) dx

Esempio:
dy/dx = x·y

Separiamo: (1/y) dy = x dx
Integrando: ln|y| = (x²)/2 + C
Soluzione: y(x) = C·e^(x²/2)

🔹 Lineari del primo ordine

Forma:
y' + P(x)·y = Q(x)

Si usa il fattore integrante:
μ(x) = e^(∫P(x) dx)

Esempio:
y' – y = e^x

Fattore integrante: μ(x) = e^(–x)
Riscrivendo: (y·e^(–x))' = 1
Integrando: y·e^(–x) = x + C
Soluzione: y(x) = (x + C)·e^x

🔹 Equazioni esatte

Forma:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Condizione di esattezza:
∂M/∂y = ∂N/∂x

Esempio:
(2xy) dx + (x²) dy = 0

M = 2xy, N = x²
∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x → condizione soddisfatta

Funzione potenziale: F(x,y) = x²·y
Soluzione: F(x,y) = C

📗 Equazioni del secondo ordine

3. Equazioni lineari a coefficienti costanti

Forma generale:
a·y'' + b·y' + c·y = 0

Equazione caratteristica:
a·r² + b·r + c = 0

• Due radici reali distinte: y = C1·e^(r1·x) + C2·e^(r2·x)

• Radici reali coincidenti: y = (C1 + C2·x)·e^(r·x)

• Radici complesse: y = e^(αx)(C1·cos(βx) + C2·sin(βx))

Esempio:
y'' + 2y' + y = 0
Caratteristica: r² + 2r + 1 = (r + 1)²
Soluzione: y = (C1 + C2·x)·e^(–x)

4. Sistemi di ODE lineari

Forma matriciale:
y' = A·y

Esempio:
x' = 3x + 4y
y' = –4x + 3y

Matrice: A = [[3, 4], [–4, 3]]
Autovalori: λ = 3 ± 4i

Soluzione:
x(t) = e^(3t)(C1·cos(4t) + C2·sin(4t))
y(t) = e^(3t)(–C1·sin(4t) + C2·cos(4t))

⚙️ 5. Applicazioni fisiche

• Oscillatore armonico semplice
  m·y'' + k·y = 0
  Frequenza naturale: ω = √(k/m)

• Pendolo (piccole oscillazioni)
  θ'' + (g/l)·θ = 0

• Circuito RC
  R·C·(dV/dt) + V = V0

• Circuito RLC
  L·i'' + R·i' + (1/C)·i = V(t)

👉 Fenomeni come smorzamento (quando R > 0) e risonanza (quando la forzante ha frequenza uguale a ω0 = 1/√(LC)).

Il Linguaggio del Cambiamento:

Capire le Equazioni Differenziali (ODE)

Immaginate di guardare una fotografia di un’auto in corsa. Potete dirmi dove si trova, il suo colore e forse il modello, ma non sapete dove sarà tra un secondo. Per farlo, avreste bisogno di un video, o meglio, di conoscere la sua velocità.

Ecco, le Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE) sono lo strumento matematico che cattura il movimento. Mentre le equazioni classiche che impariamo a scuola cercano un numero (la famosa $x$), le ODE cercano una storia: una funzione che descrive come qualcosa cambia nel tempo o nello spazio.

1. La danza tra il "dove" e il "come"

In un'equazione differenziale, il pezzo forte è la derivata. Non lasciatevi spaventare dal nome: la derivata è semplicemente il ritmo del cambiamento.

Se la funzione $y$ è la posizione di un corridore, la sua derivata è la sua velocità. Un'equazione differenziale mette in relazione la posizione del corridore con la sua velocità. È come dire: "Più sei lontano dal traguardo, più corri veloce". Risolvere l'equazione significa scoprire l'intero percorso del corridore.

2. Primo Ordine: I mattoni del divenire

Le equazioni del "primo ordine" sono le più semplici, perché coinvolgono solo la velocità immediata. Possiamo immaginarle in tre scenari comuni:

• Le Separabili (L'indipendenza): Immaginate una popolazione di batteri. La velocità con cui crescono dipende solo da quanti sono in quel momento. Possiamo "separare" i fattori e prevedere facilmente che la crescita sarà esplosiva (esponenziale).

• Le Lineari (L'influenza esterna): Immaginate di versare del caffè bollente in una tazza. La velocità con cui si raffredda dipende dalla temperatura del caffè ma anche da quella della stanza. C'è un'interazione continua tra l'oggetto e l'ambiente.

• Le Esatte (L'equilibrio perfetto): Queste descrivono sistemi dove nulla va perduto, come una pallina che rotola in una ciotola senza attrito. Ogni movimento è perfettamente bilanciato da una forza invisibile (il potenziale).

3. Secondo Ordine: L'anima delle vibrazioni

Quando passiamo al "secondo ordine", entra in gioco l'accelerazione. Qui le cose si fanno interessanti perché entriamo nel mondo dei ritmi e delle oscillazioni.

Avete presente una molla o un'altalena? La loro posizione non dipende solo dalla velocità, ma da come quella velocità cambia bruscamente.

• Se la molla è libera, oscillerà all'infinito (in un mondo ideale).

• Se aggiungiamo l'attrito (lo smorzamento), l'oscillazione si spegnerà lentamente, come una porta che si chiude piano grazie a un pistone idraulico.

4. Sistemi di Equazioni: Tutto è connesso

A volte una sola equazione non basta. Pensate a un ecosistema con lupi e lepri. Il numero di lepri dipende da quanti lupi ci sono (che le mangiano), e il numero di lupi dipende da quante lepri ci sono (per nutrirsi).

Questi sono i Sistemi di ODE: un groviglio di destini incrociati dove il cambiamento di uno influenza istantaneamente il futuro dell'altro.

5. Perché dovrebbero interessarci?

Le ODE non sono esercizi accademici; sono il "motore" sotto il cofano della civiltà moderna:

• Ingegneria: Permettono di costruire ponti che non crollano sotto il vento (evitando il fenomeno della risonanza, dove una piccola forza ritmica può distruggere strutture giganti).

• Elettronica: Gestiscono il flusso di corrente nei vostri smartphone, assicurando che i circuiti non si brucino.

• Medicina: Aiutano a capire quanto velocemente un farmaco viene assorbito dal sangue o come si diffonde un'epidemia.

In conclusione

Le Equazioni Differenziali sono il modo in cui la natura scrive le sue leggi. Non ci dicono "cosa sono" le cose, ma "come diventano". Sono il passaggio dal fotografo al regista: ci permettono di prevedere il futuro osservando il ritmo del presente.