Corso di Elettromagnetismo: 1 – Fondamenti e Richiami di Meccanica e Analisi

1 — Fondamenti e richiami di meccanica e analisi

Questo modulo raccoglie i concetti matematici e fisici di base indispensabili per il corso di elettromagnetismo: grandezze e unità SI, algebra vettoriale, campi scalari e vettoriali, richiami di meccanica classica, derivate parziali, integrali multipli e gli operatori differenziali fondamentali (∇, div, curl, Δ). Per ogni argomento fornisco formule, definizioni e esempi numerici svolti passo-passo.

1 — Grandezze fisiche e unità nel Sistema Internazionale (SI)

Grandezze base (unità SI)

• Lunghezza: 
  $L$

• Massa: 
  $M$

• Tempo: 
  $T$

• Corrente elettrica: 
  $I$

• Temperatura termodinamica: 
  $Θ$

• Quantità di sostanza: 
  $N$

• Intensità luminosa: 
  $J$

Alcune unità derivate utili in elettromagnetismo

• Forza: newton 
  $N = \mathrm{kg\;m\;s^{-2}}$

• Energia / lavoro: joule 
  $J = \mathrm{N\;m} = \mathrm{kg\;m^{2}\;s^{-2}}$

• Pressione: pascal 
  $Pa = \mathrm{N\;m^{-2}}$

• Carica elettrica: coulomb 
  $C = A\cdot s$

• Potenziale elettrico: volt 
  $V = J/C$

• Campo elettrico: 
  $E$

• Campo magnetico: tesla 
  $T = \mathrm{kg\;s^{-2}\;A^{-1}}$

• Flusso magnetico: weber 
  $Wb = V\cdot s$

Esempio di verifica unità: forza elettrica su carica 

$q$$E$$F = q E$$[q] = C$$[E]=\mathrm{N/C}$$[F] = C\cdot N/C = N$

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2 — Vettori, campi scalari e campi vettoriali

Definizioni rapide

• Vettore
  $\mathbf{a} = (a_x,a_y,a_z)$

• Scalare: numero puro (es. temperatura 
  $T$

• Campo scalare: funzione 
  $\phi(\mathbf r)$$T(x,y,z)$

• Campo vettoriale: funzione 
  $\mathbf F(\mathbf r)$$\mathbf E(\mathbf r)$

Operazioni tra vettori (forma componentale)

• Somma: 
  $\mathbf a + \mathbf b = (a_x+b_x,\;a_y+b_y,\;a_z+b_z)$

• Prodotto scalare (dot): 
  $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

  • $|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}$

    ∣a∣=a⋅a​

• Prodotto vettoriale (cross): 
  $\mathbf a\times\mathbf b = (a_y b_z - a_z b_y,\;a_z b_x - a_x b_z,\;a_x b_y - a_y b_x)$

Esempio 1 — Dot e cross (numerico)

Siano 

$\mathbf a=(1,2,-1)$$\mathbf b=(0,1,3)$

1. $\mathbf a\cdot\mathbf b = 1\cdot0 + 2\cdot1 + (-1)\cdot3 = 0 + 2 -3 = -1.$

   a⋅b=1⋅0+2⋅1+(−1)⋅3=0+2−3=−1.

2. $\mathbf a\times\mathbf b =$

   a×b=

$$\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (2\cdot3 - (-1)\cdot1)\mathbf i - (1\cdot3 - (-1)\cdot0)\mathbf j + (1\cdot1 - 2\cdot0)\mathbf k$$

Calcoli:

• componente 
  $x$$2\cdot3 - (-1)\cdot1 = 6 +1 = 7$

• componente 
  $y$$1\cdot3 - (-1)\cdot0 = 3 - 0 = 3$$-3$

• componente 
  $z$$1\cdot1 - 2\cdot0 = 1$

Quindi 

$\mathbf a\times\mathbf b = (7, -3, 1)$

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3 — Richiami di meccanica classica (fondamenta utili per l’elettromagnetismo)

Cinematica (particella)

• Posizione 
  $\mathbf r(t)$$\mathbf v = \frac{d\mathbf r}{dt}$$\mathbf a = \frac{d\mathbf v}{dt}.$

Dinamica: seconda legge di Newton

$$\mathbf F = m \mathbf a.$$

Esempio 2 — moto sotto forza costante

Forza costante 

$\mathbf F=(2,0,0)\ \mathrm{N}$$m=1\ \mathrm{kg}$$\mathbf a=(2,0,0)\ \mathrm{m/s^2}$$v(0)=0$$v(t)=2t$$x(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau= t^2$

Energia e lavoro

• Lavoro elementare 
  $dW = \mathbf F\cdot d\mathbf r$

• Energia cinetica 
  $K=\tfrac12 m v^2$

Forza su carica in campi elettrico e magnetico (richiamo elettro-meccanico)

$$\mathbf F = q\bigl(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B\bigr)\quad\text{(forza di Lorentz)}.$$

Unità: 

$[q]=C$$[\mathbf E] = V/m$$qE$

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4 — Derivate parziali, gradiente e derivate direzionali

Derivata parziale

Se 

$f(x,y,z)$$x$

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.$$

Gradiente

Per campo scalare 

$\phi(\mathbf r)$

$$\nabla\phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right).$$

Il gradiente indica direzione di massima crescita e il suo modulo dà la pendenza massima.

Derivata direzionale

Direzione data da unità 

$\mathbf{\hat u}$

$$D_{\mathbf{\hat u}}\phi = \nabla\phi\cdot\mathbf{\hat u}.$$

Esempio 3 — Parziali, gradiente e derivata direzionale

Sia 

$\phi(x,y,z)=x^2 y + \sin(z y)$

Calcoli parziali:

• $\dfrac{\partial\phi}{\partial x} = 2xy.$

  ∂x∂ϕ​=2xy.

• $\dfrac{\partial\phi}{\partial y} = x^2 + z\cos(zy).$

  ∂y∂ϕ​=x2+zcos(zy).

• $\dfrac{\partial\phi}{\partial z} = y\cos(zy).$

  ∂z∂ϕ​=ycos(zy).

Quindi 

$\nabla\phi = (2xy,\; x^2+ z\cos(zy),\; y\cos(zy))$

Valutiamo in 

$P(1,2,0.5)$

• $\partial_x = 2\cdot1\cdot2 = 4.$

  ∂x​=2⋅1⋅2=4.

• $\partial_y = 1^2 + 0.5\cos(0.5\cdot2) = 1 + 0.5\cos(1)$

  ∂y​=12+0.5cos(0.5⋅2)=1+0.5cos(1). 
  $\cos(1)\approx0.540302$$\partial_y \approx 1 + 0.5\cdot0.540302 = 1 + 0.270151 = 1.270151.$

• $\partial_z = 2\cos(1)\approx 2\cdot0.540302 = 1.080604.$

  ∂z​=2cos(1)≈2⋅0.540302=1.080604.

Gradiente in 

$P$$\nabla\phi(P) \approx (4,\;1.270151,\;1.080604)$

Derivata direzionale nella direzione 

$\mathbf u = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$

$$D_{\mathbf u}\phi = \nabla\phi\cdot\mathbf u = \frac{1}{\sqrt2}(4 + 1.270151) \approx \frac{5.270151}{1.4142136} \approx 3.726.$$

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5 — Integrali multipli e cambio di coordinate (Jacobian)

Integrale doppio e triplo

• Area: 
  $\iint_A f(x,y)\,dA$

• Volume: 
  $\iiint_V f(x,y,z)\,dV$

Cambiamento di coordinate — Jacobiano

Per trasformazione 

$(x,y) \mapsto (u,v)$

$$dA = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv.$$

In 3D per coordinate sferiche 

$(r,\theta,\varphi)$

$$dV = r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\varphi.$$

In cilindriche 

$(r,\varphi,z)$

$$dV = r\, dr\, d\varphi\, dz.$$

Esempio 4 — Volume della sfera (esempio classico)

Calcolare il volume di una sfera di raggio 

$R$

$$V=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R} r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.$$

Calcoli:

1. integrale su 
   $r$$\int_0^R r^2 dr = \frac{R^3}{3}.$

2. integrale su 
   $\theta$$\int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = 2.$

3. integrale su 
   $\varphi$$\int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi.$

Quindi 

$V = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Esempio 5 — Massa di lamina con densità variabile

Lamina unità nel dominio 

$D=\{(x,y):0\le x\le1, 0\le y\le x\}$$\sigma(x,y)=x+y$

$$m=\iint_D \sigma(x,y)\, dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x} (x+y)\,dy\,dx.$$

Calcoli:

• interno: 
  $\int_0^x (x+y) dy = \bigl[x y + \tfrac12 y^2\bigr]_0^x = x^2 + \tfrac12 x^2 = \tfrac{3}{2}x^2.$

• esterno: 
  $\int_0^1 \tfrac{3}{2} x^2 dx = \tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{2}.$

Quindi 

$m = 0.5$

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6 — Operatori differenziali: ∇ (grad), ∇· (div), ∇× (curl), ∇² (Laplaciano)

Definizioni in coordinate cartesiane

Per 

$\mathbf F=(F_x,F_y,F_z)$$\phi$

• $\nabla \phi = \left(\partial_x\phi,\;\partial_y\phi,\;\partial_z\phi\right)$

  ∇ϕ=(∂x​ϕ,∂y​ϕ,∂z​ϕ).

• $\nabla\cdot\mathbf F = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z$

  ∇⋅F=∂x​Fx​+∂y​Fy​+∂z​Fz​.

• $\nabla\times\mathbf F = \left(\partial_y F_z - \partial_z F_y,\;\partial_z F_x - \partial_x F_z,\;\partial_x F_y - \partial_y F_x\right).$

  ∇×F=(∂y​Fz​−∂z​Fy​,∂z​Fx​−∂x​Fz​,∂x​Fy​−∂y​Fx​).

• $\nabla^2 \phi = \nabla\cdot(\nabla\phi) = \partial_{xx}\phi + \partial_{yy}\phi + \partial_{zz}\phi.$

  ∇2ϕ=∇⋅(∇ϕ)=∂xx​ϕ+∂yy​ϕ+∂zz​ϕ.

Forme in coordinate curvilinee (ricordarle è utile)

• Cilindriche 
  $(r,\varphi,z)$
  $$\nabla\cdot\mathbf F = \frac{1}{r}\partial_r(rF_r)+\frac{1}{r}\partial_\varphi F_\varphi+\partial_z F_z.$$$$\nabla^2 \phi = \frac{1}{r}\partial_r(r\partial_r\phi)+\frac{1}{r^2}\partial_{\varphi\varphi}\phi+\partial_{zz}\phi.$$

• Sferiche 
  $(r,\theta,\varphi)$$\theta$
  $$\nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r\phi) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta\phi) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\partial_{\varphi\varphi}\phi.$$

Esempio 6 — Divergenza e rotore di un campo semplice

Sia 

$\mathbf F(x,y,z) = (x,y,z)$

• Divergenza: 
  $\nabla\cdot\mathbf F = \partial_x x + \partial_y y + \partial_z z = 1+1+1 = 3.$

• Rotore: 
  $\nabla\times\mathbf F = ( \partial_y z - \partial_z y,\; \partial_z x - \partial_x z,\; \partial_x y - \partial_y x) = (0-0,\;0-0,\;0-0)=(0,0,0).$

Verifica tramite teorema della divergenza (Gauss): flusso uscente da sfera 

$r=R$

$$\Phi = \iint_{S} \mathbf F\cdot d\mathbf S = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf F \, dV = \iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3.$$

Calcolo diretto: su sfera normale 

$\mathbf n=\hat r$$\mathbf F\cdot \mathbf n = (x,y,z)\cdot \frac{(x,y,z)}{R} = \frac{r^2}{R}=R$$\Phi = \iint_S R\, dS = R\cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3$

Esempio 7 — Rotore e teorema di Stokes

Sia 

$\mathbf F = (-y,x,0)$

Calcoliamo 

$\nabla\times\mathbf F$

$$\nabla\times\mathbf F = ( \partial_y 0 - \partial_z x,\; \partial_z(-y)-\partial_x 0,\; \partial_x x - \partial_y(-y) ) = (0-0,\;0-0,\;1+1)=(0,0,2).$$

Consideriamo il bordo 

$\partial S$$z=0$

• Parametrizzazione bordo: 
  $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,0),\;0\le t\le2\pi.$

• $\mathbf F(\mathbf r(t)) = (-\sin t,\cos t,0)$

  $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(-\sin t,\cos t,0)$.

• $d\mathbf r = (-\sin t,\cos t,0) dt$

  $d\mathbf{r}=(-\sin t,\cos t,0)dt$.

• $\mathbf F\cdot d\mathbf r = (-\sin t)(- \sin t) + (\cos t)(\cos t) = \sin^2 t + \cos^2 t =1.$

  F⋅dr=(−sint)(−sint)+(cost)(cost)=sin2t+cos2t=1.
  Quindi 
  $\oint_{\partial S} \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi.$

Applicando Stokes: superfice 

$S$$2$$\pi(1)^2=\pi.$$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S = 2\cdot \pi = 2\pi$

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7 — Laplaciano e funzioni radiali

Laplaciano scalar

$$\nabla^2 \phi = \partial_{xx}\phi + \partial_{yy}\phi + \partial_{zz}\phi.$$

Esempio 8 — Laplaciano di 

$1/r$

Sia 

$\phi(\mathbf r)=\dfrac{1}{r}$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$r\ne0$

$$\phi(r)=\frac{1}{r},\qquad \nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Big(r^2\frac{d\phi}{dr}\Big).$$

Calcoli:

• $\dfrac{d\phi}{dr} = -\dfrac{1}{r^2}.$

  drdϕ​=−r21​.

• $r^2\dfrac{d\phi}{dr} = -1.$

  r2drdϕ​=−1.

• $\dfrac{d}{dr}(-1)=0$

  drd​(−1)=0 ⇒ 
  $\nabla^2\phi = 0$$r\ne0$

(N.B.: 

$\nabla^2(1/r)$$-4\pi\delta(\mathbf r)$$r\ne0$

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8 — Teoremi integrali fondamentali

Teorema della divergenza (Gauss)

Per volume 

$V$$S=\partial V$

$$\iint_{S} \mathbf F\cdot d\mathbf S = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf F\, dV.$$

(Utile per calcoli di flusso.)

Esempio: già mostrato con 

$\mathbf F=(x,y,z)$

Teorema di Stokes

Per superficie 

$S$$\partial S$

$$\oint_{\partial S} \mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S.$$

(Esempio con 

$\mathbf F=(-y,x,0)$

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9 — Collegamento rapido con l’elettromagnetismo (per orientare lo studente)

• Legge di Gauss (elettrostatica): 
  $\nabla\cdot\mathbf E = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$$\rho$

• Legge di Faraday (induzione): 
  $\nabla\times\mathbf E = -\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}$

• Forza di Lorentz: 
  $\mathbf F=q(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B)$

Gli operatori e i teoremi qui studiati sono gli strumenti naturali per leggere e risolvere le equazioni di Maxwell.

Esempio applicativo (semplice): campo elettrico di una carica puntiforme 

$q$

$$\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat r.$$

Flusso su sfera di raggio 

$R$

$$\Phi=\iint_S \mathbf E\cdot d\mathbf S = E(R)\cdot 4\pi R^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2}\cdot 4\pi R^2 = \frac{q}{\varepsilon_0},$$

che è la legge di Gauss integrale.

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10 — Riepilogo rapido delle formule chiave (che fare a prima vista)

• Gradiente: 
  $\nabla\phi$

• Divergenza: 
  $\nabla\cdot\mathbf F$

• Rotore: 
  $\nabla\times\mathbf F$

• Laplaciano: 
  $\nabla^2\phi$

• Continuità (massa): 
  $\partial_t\rho + \nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0$

• Navier–Stokes (forma semplificata): 
  $\rho(\partial_t\mathbf v+\mathbf v\cdot\nabla\mathbf v) = -\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf v + \rho\mathbf g$

• Gauss: 
  $\iint_S \mathbf F\cdot d\mathbf S = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf F\, dV$

• Stokes: 
  $\oint_{\partial S} \mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S$

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11 — Esercizi consigliati (da svolgere)

1. Calcolare 
   $\nabla\cdot\mathbf F$$\nabla\times\mathbf F$$\mathbf F=(xy,\,yz,\,zx)$

2. Usare Gauss per trovare flusso di 
   $\mathbf F=(x^2,y^2,z^2)$$r=R$

3. Calcolare 
   $\nabla^2(x^2+y^2+z^2)$

4. Usare coordinate cilindriche per risolvere 
   $\iint_D r\,dr\,d\varphi$$0\le r\le2, 0\le\varphi\le\pi$