Corso di Idraulica: 2 Statica dei Fluidi

2 - Statica dei Fluidi

1. Pressione idrostatica e legge di Stevino

Un fluido in equilibrio esercita una pressione che cresce con la profondità.
Si parte dalla definizione di pressione:

$$p = \frac{F}{A}$$

dove $F$ è la forza normale alla superficie di area $A$.

Consideriamo un fluido incomprimibile e in equilibrio, con densità $\rho$.
Applicando l’equilibrio delle forze a un elemento di fluido di spessore $dz$:

$$dp = -\rho g \, dz$$

Integrando lungo la verticale:

$$p(z) = p_0 + \rho g (h - z)$$

dove:

• $p_0$ è la pressione al livello libero,

• $h$ la quota del pelo libero del liquido,

• $z$ la quota del punto considerato.

👉 Questa relazione è nota come Legge di Stevino.

Esempio 1

Calcolare la pressione a 5 m di profondità nell’acqua ($\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$) con pressione atmosferica $p_0 = 1.01 \times 10^5 \, \text{Pa}$.

$$p = p_0 + \rho g h$$ $$p = 1.01 \times 10^5 + (1000)(9.81)(5)$$ $$p = 1.01 \times 10^5 + 4.905 \times 10^4 = 1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}$$

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2. Superfici isobare e linee di pressione

Le superfici isobare sono le superfici dove la pressione è costante.
In un fluido in quiete e in campo gravitazionale uniforme, queste superfici sono piani orizzontali.

• Se il contenitore non è accelerato → le superfici isobare sono parallele al suolo.

• Se il sistema è accelerato (es. ascensore o nave in moto) → le isobare si inclinano.

👉 Le linee di pressione sono le linee normali alle isobare, quindi verticali in condizioni statiche.

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3. Spinta di Archimede e galleggiamento

Un corpo immerso in un fluido subisce una forza di spinta verso l’alto, pari al peso del fluido spostato.

$$F_A = \rho_{f} g V_{\text{immerso}}$$

dove:

• $\rho_f$ è la densità del fluido,

• $V_{\text{immerso}}$ è il volume immerso del corpo.

Condizioni di galleggiamento

• Se $F_A > P$ → il corpo risale.

• Se $F_A < P$ → il corpo affonda.

• Se $F_A = P$ → equilibrio (il corpo galleggia).

👉 Peso del corpo:

$$P = \rho_c g V_c$$

con $\rho_c$ densità del corpo e $V_c$ volume totale.

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4. Stabilità degli oggetti immersi

La stabilità dipende dalla posizione relativa di:

• baricentro $G$ del corpo,

• centro di spinta $C$ (centro geometrico del volume immerso).

• Se $C$ si trova verticalmente sopra $G$ → equilibrio stabile.

• Se $C$ è sotto $G$ → equilibrio instabile.

• Se coincidono → equilibrio indifferente.

👉 Caso tipico: navi → stabilità garantita dal metacentro $M$.
Se $M$ è sopra $G$, equilibrio stabile.

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5. Esercizi applicativi

Esempio 2 – Spinta su un cubo sommerso

Un cubo di lato $a = 0.5 \, \text{m}$, densità del materiale $\rho_c = 800 \, \text{kg/m}^3$, è immerso in acqua ($\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$). Verificare se galleggia e calcolare la frazione immersa.

• Volume cubo:

$$V_c = a^3 = (0.5)^3 = 0.125 \, \text{m}^3$$

• Peso corpo:

$$P = \rho_c g V_c = (800)(9.81)(0.125) \approx 981 \, \text{N}$$

• Spinta massima (corpo sommerso):

$$F_A = \rho_f g V_c = (1000)(9.81)(0.125) \approx 1226 \, \text{N}$$

👉 Poiché $F_A > P$, il corpo galleggia.

• Volume immerso al galleggiamento:

$$V_{\text{immerso}} = \frac{P}{\rho_f g} = \frac{981}{1000 \cdot 9.81} \approx 0.1 \, \text{m}^3$$

• Frazione immersa:

$$\frac{V_{\text{immerso}}}{V_c} = \frac{0.1}{0.125} = 0.8 = 80\%$$

👉 Il cubo galleggia con l’80% del volume immerso.

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Esempio 3 – Forza su una paratia

Una paratia verticale trattiene acqua a profondità $h = 4 \, \text{m}$.
Calcolare la forza totale su una superficie rettangolare di larghezza $b = 2 \, \text{m}$.

La pressione varia con la profondità:

$$p(z) = \rho g z$$

Forza totale:

$$F = \int_0^h \rho g z \, b \, dz$$ $$F = \rho g b \frac{h^2}{2}$$

Sostituendo:

$$F = (1000)(9.81)(2)\frac{(4)^2}{2}$$ $$F = (1000)(9.81)(2)(8) \approx 1.57 \times 10^5 \, \text{N}$$

👉 La paratia subisce una forza totale di circa 157 kN.

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✅ In questa lezione abbiamo:

• derivato la legge di Stevino,

• visto il concetto di isobare,

• studiato Archimede e il galleggiamento,

• introdotto la stabilità dei corpi immersi,

• risolto esercizi pratici su cubi galleggianti e forze idrostatiche.