Corso di Idraulica: 3 Dinamica dei Fluidi Ideali

3 — Dinamica dei Fluidi Ideali

1 — Equazione di continuità

Conservazione della massa (per flusso incomprimibile, stazionario):

$$Q = A\cdot v$$

dove

• $Q$

  $Q$ = portata volumetrica (m³/s),

• $A$

  $A$ = area della sezione (m²),

• $v$

  $v$ = velocità media nel condotto (m/s).

Per due sezioni 1 e 2 della stessa linea di flusso (stazionario, incomprimibile):

$$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q.$$

Relazione massa:

$\dot m = \rho Q = \rho A v$$\rho$

Esempio 1 — Riduzione di sezione

Un tubo circolare passa da diametro 

$D_1=0{,}200\ \mathrm{m}$$D_2=0{,}100\ \mathrm{m}$$D_1$$v_1=1{,}50\ \mathrm{m/s}$$v_2$$Q$

Passo 1 — aree

Area circolare 

$A=\dfrac{\pi D^2}{4}$

• $A_1 = \dfrac{\pi (0{,}200)^2}{4} = \dfrac{\pi \cdot 0{,}040}{4} = \pi \cdot 0{,}010$

  A1​=4π(0,200)2​=4π⋅0,040​=π⋅0,010.
  Calcolo numerico: 
  $\pi \cdot 0{,}010 = 3{,}141592654 \times 0{,}010 = 0{,}03141592654\ \mathrm{m^2}.$

• $A_2 = \dfrac{\pi (0{,}100)^2}{4} = \dfrac{\pi \cdot 0{,}010}{4} = \pi \cdot 0{,}0025$

  A2​=4π(0,100)2​=4π⋅0,010​=π⋅0,0025.
  Calcolo: 
  $\pi \cdot 0{,}0025 = 3{,}141592654 \times 0{,}0025 = 0{,}007853981635\ \mathrm{m^2}.$

Passo 2 — velocità in 2 (continuità):

$$v_2 = v_1 \frac{A_1}{A_2}.$$

Calcolo rapporto area:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{0{,}03141592654}{0{,}007853981635} = 4.$$

(Verifica: dimezzando il diametro l’area si riduce di 4 volte.)

Quindi

$$v_2 = 1{,}50 \times 4 = 6{,}00\ \mathrm{m/s}.$$

Passo 3 — portata

$$Q = A_1 v_1 = 0{,}03141592654 \times 1{,}50.$$

Calcolo:

• $0{,}03141592654\times 1 = 0{,}03141592654.$

  0,03141592654×1=0,03141592654.

• $0{,}03141592654\times 0{,}5 = 0{,}01570796327.$

  0,03141592654×0,5=0,01570796327.

• Somma = 
  $0{,}04712388981\ \mathrm{m^3/s}.$

Quindi 

$Q \approx 0{,}047124\ \mathrm{m^3/s}$$Q = A_2 v_2 = 0{,}007853981635\times 6{,}00 = 0{,}04712388981\ \mathrm{m^3/s}$

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2 — Equazione di Bernoulli (forma base)

Per fluido ideale, stazionario e lungo una stessa linea di flusso:

$$p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{costante}$$

dove

• $p$

  $p$ = pressione (Pa),

• $\rho$

  $\rho$ = densità (kg/m³),

• $v$

  $v$ = velocità (m/s),

• $g$

  $g$ = accelerazione gravitazionale (9.81 m/s²),

• $z$

  $z$ = quota (m).

Forma in termini di carichi (head) dividendo per 

$\rho g$

$$\frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = H = \text{costante (m)}.$$

Ipotesi importanti

Bernoulli vale per flusso inviscid, incompressible, stazionario e lungo una stessa linea di flusso. Perdite (attrito, turbulence) e effetti di lavoro/pompe vanno aggiunti come termini di energia (h_L, lavoro addizionale).

Forma generale con perdite e pompe

$$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + h_\text{pump} = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_L$$

dove 

$h_L$

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3 — Applicazioni pratiche di Bernoulli

3.1 — Derivazione della velocità di uscita di una bocca immersa (Torricelli)

Risultato noto: per un grande serbatoio con superficie libera (p_atm) e uscita a quota inferiore 

$z$

$$v = \sqrt{2 g h}$$

con 

$h = z_\text{superficie} - z_\text{bocca}$

Derivazione rapida: applicare Bernoulli tra superficie libera (v≈0, p = p_atm, z = z_s) e bocca (z_b, p ≈ p_atm se scarica in atmosfera), p_atm cancella e si ottiene 

$\tfrac{1}{2}\rho v^2 = \rho g (z_s - z_b)$

Esempio 2 — Torricelli

Serbatoio con livello d’acqua 5,00 m sopra l’ugello. Calcolare velocità di uscita.

$$v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 5{,}00} = \sqrt{98{,}1}.$$

Calcoli:

• $2\times9{,}81 = 19{,}62.$

  2×9,81=19,62.

• $19{,}62\times5{,}00 = 98{,}1.$

  19,62×5,00=98,1.

• $\sqrt{98{,}1} \approx 9{,}905\ \mathrm{m/s}$

  98,1​≈9,905 m/s (poiché 
  $9{,}9^2 = 98{,}01$$9{,}905^2 \approx 98{,}1$

Quindi 

$v\approx 9{,}905\ \mathrm{m/s}$

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4 — Tubo di Venturi e misura di portata (derivazione)

Tubo di Venturi: restringimento di un condotto che induce aumento di velocità e diminuzione di pressione; misurando la differenza di pressione 

$p_1-p_2$

Partendo da Bernoulli (tra sezioni 1 e 2) e continuità:

$$p_1 + \tfrac12 \rho v_1^2 = p_2 + \tfrac12 \rho v_2^2 \quad\Rightarrow\quad p_1-p_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2).$$

Con 

$v_2 = \dfrac{A_1}{A_2} v_1$

$$p_1-p_2 = \tfrac12 \rho v_1^2\Big(\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1\Big).$$

Risolvendo per 

$v_1$

$$v_1 = \sqrt{\frac{2(p_1-p_2)}{\rho\left(\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1\right)}}.$$

Poi 

$Q = A_1 v_1$

Misura con manometro a fluido pesante (mercurio): la pressione differenza è misurata come 

$\Delta p = ( \rho_m - \rho_f ) g h$$\rho_m$$\rho_f$

Esempio 3 — Venturi con manometro a mercurio (numerico)

Dati:

• fluido: acqua, 
  $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$

• diametro sezione ampia 
  $D_1 = 0{,}100\ \mathrm{m}$$A_1 = \pi D_1^2/4$

• diametro gola 
  $D_2 = 0{,}050\ \mathrm{m}$$A_2$

• manometro con mercurio 
  $\rho_m = 13600\ \mathrm{kg/m^3}$

• dislivello manometrico 
  $h = 0{,}150\ \mathrm{m}$

• $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$

  g=9,81 m/s2.

Passo 1 — aree (calcoli come nell’esempio precedente):

• $A_1 = \pi (0{,}100)^2/4 = \pi \cdot 0{,}0025 = 0{,}007853981635\ \mathrm{m^2}.$

  A1​=π(0,100)2/4=π⋅0,0025=0,007853981635 m2.

• $A_2 = \pi (0{,}050)^2/4 = \pi \cdot 0{,}000625 = 0{,}001963495408\ \mathrm{m^2}.$

  A2​=π(0,050)2/4=π⋅0,000625=0,001963495408 m2.

Controllo: 

$A_1/A_2 = 0{,}007853981635 / 0{,}001963495408 = 4$

Passo 2 — pressione differenza misurata dal manometro

Per manometro differenziale (mercurio/aria) si può usare la formula:

$$\Delta p = p_1 - p_2 = (\rho_m - \rho) g h.$$

Calcoli:

• $\rho_m - \rho = 13600 - 1000 = 12600\ \mathrm{kg/m^3}.$

  ρm​−ρ=13600−1000=12600 kg/m3.

• $12600 \times 9{,}81 =$

  $12600\times 9,81=$ facciamo moltiplicazione passo-passo:

  • $12600 \times 9 = 113400.$

    12600×9=113400.

  • $12600 \times 0{,}81 = 12600 \times (0{,}8 + 0{,}01) = 12600\times0{,}8 + 12600\times0{,}01$

    $12600\times 0,81=12600\times (0,8+0,01)=12600\times 0,8+12600\times 0,01$.

    • $12600\times0{,}8 = 10080.$

      12600×0,8=10080.

    • $12600\times0{,}01 = 126.$

      12600×0,01=126.

    • Somma = 
      $10080 + 126 = 10206.$

  • Somma totale = 
    $113400 + 10206 = 123606.$
    Quindi 
    $12600\times9{,}81 = 123606\ \mathrm{(N/m^3)}.$

• Moltiplichiamo per 
  $h = 0{,}150$

  • $123606 \times 0{,}150 = 123606 \times \frac{15}{100} = \dfrac{123606 \times 15}{100}.$

    123606×0,150=123606×10015​=100123606×15​.

  • $123606 \times 15 = 123606 \times (10 + 5) = 1{,}236{,}060 + 618{,}030 = 1{,}854{,}090.$

    123606×15=123606×(10+5)=1,236,060+618,030=1,854,090.

  • Dividendo per 100 → 
    $18{,}540{,}90\ \mathrm{Pa}.$

Quindi 

$\Delta p = 18{,}540{,}90\ \mathrm{Pa} \approx 1{,}8541\times10^4\ \mathrm{Pa}.$

Passo 3 — velocità 

$v_1$

Da formula:

$$v_1 = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho\left(\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1\right)}}.$$

Calcoli:

• $\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)^2 = 4^2 = 16.$

  (A2​A1​​)2=42=16.

• Denominatore: 
  $\rho \big(16 - 1\big) = 1000 \times 15 = 15000.$

• Numeratore: 
  $2\Delta p = 2 \times 18540{,}90 = 37081{,}80.$

• Quindi rapporto: 
  $37081{,}80 / 15000 = 2{,}47212.$

Ora radice quadrata:

$$v_1 = \sqrt{2{,}47212} \approx 1{,}5723\ \mathrm{m/s}.$$

(Verifichiamo: 

$1{,}5723^2 \approx 2{,}47212$

Passo 4 — portata

$$Q = A_1 v_1 = 0{,}007853981635 \times 1{,}5723.$$

Calcolo dettagliato (moltiplicazione già fatto in analoga sezione):

• $1{,}5723 \times 0{,}007853981635 \approx 0{,}0123488\ \mathrm{m^3/s}.$

  1,5723×0,007853981635≈0,0123488 m3/s.

Quindi 

$Q \approx 0{,}01235\ \mathrm{m^3/s} \approx 12{,}35\ \mathrm{L/s}.$

Nota pratica: nella realtà si introduce un coefficiente di efficienza (coefficiente di contrazione, effetto viscoso) 

$C_d$$Q_\text{reale}=C_d Q_\text{ideale}$$C_d \approx 0{,}98$

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5 — Tubo di Pitot (misura della velocità)

Il Pitot misura la pressione totale (stagnazione)

$p_t$$p$$\tfrac12\rho v^2$

$$p_t = p + \tfrac12 \rho v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2(p_t - p)}{\rho}}.$$

Questa formula è valida per flussi a bassa Mach (incompressibile o correzione compressibile per velocità maggiori).

Esempio 4 — Pitot in aria

Misura differenziale 

$p_t - p = 120\ \mathrm{Pa}$$\rho = 1{,}225\ \mathrm{kg/m^3}$

$$v = \sqrt{\frac{2\times120}{1{,}225}}.$$

Calcoli:

• $2\times120 = 240.$

  2×120=240.

• $240 / 1{,}225$

  $240/1,225$ compute: 
  $1.225\times 195{,}9183673 \approx 240$$240000/1225$

  • $240 / 1{,}225 = 195{,}9183673469$

    $240/1,225=195,9183673469$ (vedi: 
    $240000/1225 = 195{,}9183...$

• $\sqrt{195{,}9183673469} \approx 13{,}999\ \mathrm{m/s}$

  195,9183673469​≈13,999 m/s (poiché 
  $14^2=196$

Quindi 

$v \approx 14{,}0\ \mathrm{m/s}.$

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6 — Moto laminare e turbolento (introduzione)

Il comportamento del flusso dipende dal numero di Reynolds:

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{v D}{\nu}$$

dove

• $D$

  $D$ = diametro caratteristico (m),

• $\mu$

  $\mu$ = viscosità dinamica (Pa·s),

• $\nu = \mu/\rho$

  $\nu =\mu /\rho$ = viscosità cinematica (m²/s).

Criteri empirici (tubo circolare interno):

• $\mathrm{Re} \lesssim 2300$

  $\mathrm{Re}\lesssim 2300$ → regime laminare (flusso ordinato, profilo parabolico).

• $2300 \lesssim \mathrm{Re} \lesssim 4000$

  $2300\lesssim \mathrm{Re}\lesssim 4000$ → zona di transizione.

• $\mathrm{Re} \gtrsim 4000$

  $\mathrm{Re}\gtrsim 4000$ → regime turbulento.

Hagen–Poiseuille (laminare, flusso pieno in tubo): portata per differenza di pressione 

$\Delta p$$L$

$$Q = \frac{\pi R^4}{8 \mu L} \Delta p.$$

Esempio 5 — calcolo Re con i dati del Venturi

Usiamo i valori del Venturi (acqua): 

$v_2 = 4 v_1 = 4 \times 1{,}5723 = 6{,}2892\ \mathrm{m/s}$$D_2=0{,}050\ \mathrm{m}$$\nu \approx 1{,}003\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$

Calcolo 

$\mathrm{Re}$

$$\mathrm{Re} = \frac{v_2 D_2}{\nu} = \frac{6{,}2892 \times 0{,}050}{1{,}003\times10^{-6}}.$$

Passo-passo:

• $6{,}2892 \times 0{,}050 = 0{,}31446$

  $6,2892\times 0,050=0,31446$ (perché 
  $6{,}2892 \times 5 = 31{,}446$

• Dividere per 
  $1{,}003\times10^{-6}$$1/1{,}003 \times 10^6$
  Prima 
  $0{,}31446 / 1{,}003 \approx 0{,}31352$$1{,}003$
  Poi moltiplichiamo per 
  $10^6$$\mathrm{Re} \approx 313{,}520.$

Quindi 

$\mathrm{Re}\approx 3{,}13\times10^5$

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7 — Limitazioni dell’equazione di Bernoulli e uso corretto

Bernoulli non include viscous losses: in condotti reali si introduce una perdita di carico 

$h_L$$i$$f$

Perdite locali (valvole, curve, flange) e perdite distribuite (attrito) riducono pressione/energia disponibile.

Per 

$Re$$f$

$$h_L = f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}.$$

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8 — Esercizi applicati (con soluzioni svolte)

Esercizio A — pressione a monte e valle in una riduzione orizzontale

Tubo orizzontale (z1 = z2 = 0) con 

$D_1=0{,}100\ \mathrm{m}$$D_2=0{,}050\ \mathrm{m}$$p_1=150{,}000\ \mathrm{Pa}$$Q$$h_\text{man}=0{,}150\ \mathrm{m}$$p_2$

Abbiamo già calcolato 

$v_1 = 1{,}5723\ \mathrm{m/s}$$v_2 = 6{,}2892\ \mathrm{m/s}$

$$p_1 + \tfrac12 \rho v_1^2 = p_2 + \tfrac12 \rho v_2^2 \quad\Rightarrow\quad p_2 = p_1 + \tfrac12 \rho (v_1^2 - v_2^2).$$

Calcoli:

• $v_1^2 = 1{,}5723^2 \approx 2{,}47212$

  v12​=1,57232≈2,47212 (già usato).

• $v_2^2 = 6{,}2892^2$

  v22​=6,28922. Calcoliamo: 
  $6{,}2892^2 = (6{,}2892)(6{,}2892)$

  • $6{,}2892 \times 6 = 37{,}7352.$

    6,2892×6=37,7352.

  • $6{,}2892 \times 0{,}2892 = 6{,}2892 \times (0{,}2 + 0{,}08 + 0{,}0092)$

    $6,2892\times 0,2892=6,2892\times (0,2+0,08+0,0092)$.

    • ×0.2 = 1{,}25784

    • ×0.08 = 0{,}503136

    • ×0.0092 = 0{,}057879, sum = 1{,}818855.

  • Summing rough 
    $37{,}7352 + 1{,}818855 = 39{,}554055.$
    So 
    $v_2^2 \approx 39{,}55406.$

Alternatively note 

$v_2 = 4 v_1$$v_2^2 = 16 v_1^2 = 16 \times 2{,}47212 = 39{,}55392$

• Now compute difference 
  $v_1^2 - v_2^2 = 2{,}47212 - 39{,}55392 = -37{,}08180.$

• Multiply by 
  $\tfrac12 \rho = 0{,}5 \times 1000 = 500$
  $$\tfrac12 \rho (v_1^2 - v_2^2) = 500 \times (-37{,}08180) = -18{,}540{,}90\ \mathrm{Pa}.$$

• Thus 
  $p_2 = p_1 - 18{,}540{,}90 = 150{,}000 - 18{,}540{,}90 = 131{,}459{,}10\ \mathrm{Pa}.$

Quindi 

$p_2 \approx 131{,}459\ \mathrm{Pa}$

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Esercizio B — portata da Pitot + condizione di flusso in tubo

Un tubo misura mediante Pitot una pressione dinamica Δp = 50 Pa in un condotto d’aria di diametro 

$D=0{,}200\ \mathrm{m}$$\rho=1{,}225\ \mathrm{kg/m^3}$

Passo 1 — velocità

$$v = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}} = \sqrt{\frac{2\times50}{1{,}225}}.$$

Calcoli:

• $2\times50 = 100.$

  2×50=100.

• $100 / 1{,}225 \approx 81{,}632653061.$

  $100/1,225\approx 81,632653061.$ (perché 
  $1225 \times 81{,}632653\approx 100000$$100/1.225=81.63265306$

• $\sqrt{81{,}63265306} \approx 9{,}035\ \mathrm{m/s}$

  81,63265306​≈9,035 m/s (poiché 
  $9{,}035^2 \approx 81{,}63$

Quindi 

$v \approx 9{,}035\ \mathrm{m/s}.$

Passo 2 — area e portata

• $A = \pi D^2 /4 = \pi (0{,}200)^2 /4 = \pi \cdot 0{,}040 /4 = \pi \cdot 0{,}010 = 0{,}03141592654\ \mathrm{m^2}.$

  A=πD2/4=π(0,200)2/4=π⋅0,040/4=π⋅0,010=0,03141592654 m2.

• $Q = A v = 0{,}03141592654 \times 9{,}035.$

  Q=Av=0,03141592654×9,035.

Calcoli:

• $0{,}03141592654 \times 9 = 0{,}28274333886.$

  0,03141592654×9=0,28274333886.

• $0{,}03141592654 \times 0{,}035 = 0{,}03141592654 \times 35/1000 = (0{,}03141592654 \times 35)/1000.$

  0,03141592654×0,035=0,03141592654×35/1000=(0,03141592654×35)/1000.

  • $0{,}03141592654 \times 35 = 1{,}0995574289$

    $0,03141592654\times 35=1,0995574289$ (since ×30 = 0.942477795, ×5 = 0.1570796327 → sum 1.0995574277 approx).

  • Diviso 1000 → 0.0010995574289.

• Somma: 
  $0{,}28274333886 + 0{,}0010995574289 = 0{,}2838428962889\ \mathrm{m^3/s}.$

Quindi 

$Q \approx 0{,}28384\ \mathrm{m^3/s} \approx 283{,}8\ \mathrm{L/s}.$

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9 — Riassunto pratico e checklist d’uso

• Usa continuità per collegare velocità in sezioni diverse.

• Usa Bernoulli per collegare pressione, velocità e quota lungo una linea di flusso: attenzione a ipotesi (no attrito, flusso stazionario, incompressibile).

• Per misure: Venturi per liquidi/portate con manometro; Pitot tipico per velocità nei flussi gassosi/liquidi (correzioni compressibili se 
  $M>0{,}3$

• Controlla regime con 
  $\mathrm{Re}$$f$$h_L$

• Non trascurare unità e portare sempre tutto in SI.

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10 — Esercizi suggeriti (da svolgere)

1. In un condotto orizzontale 
   $D_1=0{,}15\ \mathrm{m}$$D_2=0{,}06\ \mathrm{m}$$p_1=200\ \mathrm{kPa}$$p_2=150\ \mathrm{kPa}$$v_1, v_2, Q$$\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$

2. Un Venturi (D1, D2 dati) mostra 
   $h=0{,}08\ \mathrm{m}$$850\ \mathrm{kg/m^3}$$Q$$C_d=0{,}98$

3. Calcolare la perdita di carico lineare 
   $h_L$$L=50\ \mathrm{m}$$D=0{,}05\ \mathrm{m}$$f=0{,}02$

4. Per un tubo con flusso laminare (Hagen–Poiseuille), verificare la formula Q = π R⁴ Δp / (8 μ L) e calcolare la Δp necessaria per un flusso di 
   $1\times10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}$$L=1\ \mathrm{m}$$D=2\ \mathrm{mm}$$\mu=1{,}002\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}$