Corso di Idraulica: 4 Dinamica dei Fluidi Reali

4 – Dinamica dei Fluidi Reali

1. Concetto di viscosità e legge di Newton per i fluidi viscosi

Un fluido reale non è ideale: durante il moto presenta resistenza interna dovuta alle forze di attrito tra le particelle. Questa proprietà è detta viscosità dinamica (μ).

➡️ Legge di Newton per i fluidi viscosi:

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$

dove:

• $\tau$ = sforzo tangenziale [Pa]

• $\mu$ = viscosità dinamica [Pa·s]

• $\frac{du}{dy}$ = gradiente di velocità (variazione di velocità nello strato fluido)

👉 Nei fluidi newtoniani (acqua, aria, oli leggeri), la relazione è lineare.
👉 Nei fluidi non newtoniani (vernici, ketchup, sangue), il legame non è lineare.

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2. Moto laminare nei tubi: legge di Poiseuille

In un tubo cilindrico di raggio $R$ e lunghezza $L$, se il moto è laminare e il fluido è newtoniano, la portata $Q$ è data da:

$$Q = \frac{\pi R^4}{8 \mu L} \Delta P$$

dove:

• $Q$ = portata volumetrica $[m^3/s]$

• $\Delta P$ = differenza di pressione [Pa]

• $R$ = raggio del tubo [m]

• $L$ = lunghezza del tubo [m]

• $\mu$ = viscosità [Pa·s]

🔎 Profilo di velocità:

$$v(r) = \frac{\Delta P}{4 \mu L} \left( R^2 - r^2 \right)$$

è parabolico, massimo al centro ($r=0$) e nullo alla parete ($r=R$).

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3. Perdite di carico distribuite e concentrate

Nelle condotte reali, l’energia del fluido diminuisce per:

• Perdite distribuite: attrito lungo le pareti del tubo.

• Perdite concentrate: curve, valvole, restringimenti, allargamenti, diramazioni.

Si definisce altezza piezometrica persa:

$$h_f = \frac{\Delta P}{\rho g}$$

dove:

• $h_f$ = perdita di carico [m]

• $\rho$ = densità fluido [kg/m³]

• $g$ = accelerazione di gravità

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4. Formula di Darcy–Weisbach e coefficienti di perdita

La formula di Darcy–Weisbach descrive le perdite distribuite:

$$h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}$$

dove:

• $f$ = fattore di attrito (dipende dal regime di moto e dalla rugosità del tubo)

• $L$ = lunghezza del tubo [m]

• $D$ = diametro del tubo [m]

• $v$ = velocità media del fluido [m/s]

👉 Perdite concentrate:

$$h_c = K \frac{v^2}{2g}$$

dove $K$ è un coefficiente sperimentale (ad esempio: $K \approx 0.5$ per una curva a 90°).

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5. Esempi svolti

🔹 Esempio 1 – Portata con legge di Poiseuille

Un fluido con viscosità $\mu = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s}$ (acqua) scorre in un tubo di raggio $R = 0.01 \, \text{m}$, lunghezza $L = 1.0 \, \text{m}$, con differenza di pressione $\Delta P = 1000 \, \text{Pa}$.

$$Q = \frac{\pi (0.01)^4}{8 (1.0 \times 10^{-3})(1.0)} (1000)$$ $$Q = \frac{\pi (1.0 \times 10^{-8})}{8 \times 10^{-3}} (1000) \approx 3.93 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}$$

Portata ≈ 3.9 L/s.

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🔹 Esempio 2 – Perdite di carico distribuite

Acqua ($\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$) scorre in un tubo di diametro $D = 0.05 \, \text{m}$, lunghezza $L = 20 \, \text{m}$, velocità $v = 2 \, \text{m/s}$. Fattore di attrito $f = 0.02$.

$$h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}$$ $$h_f = 0.02 \cdot \frac{20}{0.05} \cdot \frac{2^2}{2 \cdot 9.81}$$ $$h_f = 0.02 \cdot 400 \cdot \frac{4}{19.62} \approx 0.65 \, \text{m}$$

La perdita di carico è di 0.65 m di colonna d’acqua.

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6. Sintesi concettuale

• La viscosità determina la resistenza al moto interno del fluido.

• Il moto laminare è descritto da Poiseuille, con profilo parabolico.

• Le perdite di carico riducono l’energia disponibile, sia per attrito che per ostacoli.

• La Darcy–Weisbach fornisce una formula universale per calcolare le perdite distribuite.