Corso di Idraulica: 5 Moto Uniforme e Varievole nei Canali

 5 Moto Uniforme e Varievole nei Canali

ANALISI IDRAULICA DEI CANALI APERTI: FORMULE, CONCETTI ED ESEMPI SVOLTI

1. CONCETTI DI BASE
   Canale aperto: flusso con superficie libera soggetta alla pressione atmosferica. Grandezze principali:
   Q = portata volumica [m^3/s]
   A = sezione bagnata [m^2]
   V = velocità media = Q / A [m/s]
   P_w = perimetro bagnato [m]
   R = raggio idraulico = A / P_w [m]
   S = pendenza energetica o dell'alveo (slope) [m/m]
   g = accelerazione di gravità = 9.81 m/s^2

2. MOTO UNIFORME E MOTO VARIO
   Moto uniforme: condizioni stazionarie e geometria costante, la profondità non cambia lungo la longitudine; la pendenza dell'energia è uguale alla pendenza dell'alveo: S_f = S_0 (dissipazione uguale alla disponibilità).
   Moto vario (gradualmente variato): profondità che varia lentamente lungo la lunghezza, ∂y/∂x piccolo; si studiano profili con l'equazione differenziale delle acque a moto gradualmente variato.

3. FORMULA DI CHEZY E DI MANNING
   Chezy: V = C · sqrt( R · S )
   dove C = coefficiente di Chezy [m^(1/2)/s] (dipende da rugosità e forma).

Manning (forma pratica, molto usata):
V = (1 / n) · R^(2/3) · S^(1/2)
dove n = coefficiente di rugosità di Manning [s / m^(1/3)].

Relazione Chezy–Manning:
C = (1 / n) · R^(1/6)
(verifica: sostituendo C in Chezy si ottiene la formula di Manning).

Controllo dimensionale (Manning):
R^(2/3) ha dimensione m^(2/3); (1/n) ha dimensione m^(1/3)/s; quindi V dimensione m/s (coerente).

4. RAGGIO IDRAULICO E GEOMETRIE SEMPLICI
   Per canale rettangolare di base b e profondità y:
   A = b · y
   P_w = b + 2 y
   R = A / P_w = b y / (b + 2 y)
   Per canale largo (b >> y): R ≈ y.

5. ESEMPIO 1 — Portata con formula di Manning (canale rettangolare)
   Dati:
   b = 3.00 m
   y = 1.20 m (profondità)
   n = 0.015 (rugosità tipica fondi naturali medi/pavimentazioni)
   S = 0.001 (pendenza)

Passaggi:
A = b · y = 3.00 · 1.20 = 3.60 m^2
P_w = b + 2 y = 3.00 + 2·1.20 = 5.40 m
R = A / P_w = 3.60 / 5.40 = 0.6666667 m

Calcolo R^(2/3):
ln(R) = ln(2/3) = -0.405465; (2/3)·ln(R) = -0.27031; quindi R^(2/3) ≈ e^(−0.27031) ≈ 0.7636

sqrt(S) = sqrt(0.001) = 0.0316228

(1/n) = 1 / 0.015 = 66.6666667

Velocità media V = (1/n) · R^(2/3) · sqrt(S)
V ≈ 66.6666667 · 0.7636 · 0.0316228 ≈ 1.6099 m/s

Portata Q = V · A = 1.6099 · 3.60 ≈ 5.7956 m^3/s

Risultato: Q ≈ 5.80 m^3/s, V ≈ 1.61 m/s.

Controllo (chezy):
Calcolo R^(1/6): ln(R)/6 = -0.0675775 → R^(1/6) ≈ e^(−0.06758) ≈ 0.93465
C = (1/n)·R^(1/6) = 66.6667·0.93465 ≈ 62.31
V_chezy = C·sqrt(R·S) = 62.31·sqrt(0.66667·0.001) = 62.31·0.0258199 ≈ 1.6099 m/s (coincide).

6. ESEMPIO 2 — Calcolo della profondità di moto uniforme (metodo iterativo)
   Dato: canale rettangolare b = 3.00 m, portata Q = 5.00 m^3/s (diversa dall'esempio 1), n = 0.015, S = 0.001. Trovare profondità di moto uniforme y_n.

Equazione da risolvere (Manning):
Q = (1/n) · A · R^(2/3) · S^(1/2)

Con A = b y, R = b y / (b + 2 y). Risoluzione per y richiede iterazione (o metodo numerico). Si procede con prove successive:

Prova y = 1.10 m:
A = 3.00·1.10 = 3.30 m^2
P_w = 3 + 2·1.10 = 5.20 m
R = 3.30 / 5.20 = 0.634615
R^(2/3) ≈ exp((2/3) ln 0.634615) ≈ 0.7385
V = (1/0.015)·0.7385·0.0316228 ≈ 1.556 m/s
Q = V·A = 1.556·3.30 ≈ 5.135 m^3/s (leggermente > 5)

Prova y = 1.05 m:
A = 3.00·1.05 = 3.15 m^2
P_w = 3 + 2·1.05 = 5.10 m
R = 3.15 / 5.10 = 0.617647
R^(2/3) ≈ 0.7256
V ≈ 66.6667·0.7256·0.0316228 ≈ 1.529 m/s
Q ≈ 1.529·3.15 ≈ 4.816 m^3/s (leggermente < 5)

Interpolazione lineare per approssimare y_n:
tra y=1.05 (Q=4.816) e y=1.10 (Q=5.135), Q_target=5.00.
Delta Q = 5.135 − 4.816 = 0.319. Differenza target = 5.00 − 4.816 = 0.184.
Frazione = 0.184 / 0.319 ≈ 0.577.
Stima y ≈ 1.05 + 0.577·(0.05) ≈ 1.05 + 0.0289 ≈ 1.079 m.

Risultato approssimato: y_n ≈ 1.08 m.

Commento: per maggiore precisione si ripete iterazione fino a convergenza. Metodo grafico (curva di resistenza) o Newton-Raphson sono alternative efficienti.

7. PROFILI DI CORRENTE E SUPERFICIE LIBERA

• Supercritico (Fr > 1): velocità dominante, profondità bassa, onde si propagano a valle.

• Subcritico (Fr < 1): profondità maggiore, onde si propagano a monte.
  Froude number Fr = V / sqrt( g · D ) dove D = profondità idraulica (per rettangolare D = y).
  Calcolo esempio (esempio 1): V = 1.6099 m/s, y = 1.20 m:
  sqrt(g y) = sqrt(9.81·1.2) = sqrt(11.772) ≈ 3.431 m/s
  Fr = 1.6099 / 3.431 ≈ 0.469 → subcritico.

Profili tipici (canale rettilineo):

• Tipo M, S, C, B in funzione dello scorrimento relativo al tirante critico e al fondale; si determinano risolvendo l’equazione d( y )/dx = (S0 − Sf) / (1 − Fr^2) · geometric factor.

8. ONDE IDRAULICHE (onde di piena, onde di marea) E CELERITÀ
   Onde lunghe (shallow water waves) celerità c:
   c = sqrt( g · D ) (per onde di lunga lunghezza rispetto alla profondità; D profondità media)
   Per rettangolare D = y → c = sqrt( g · y )

Esempio: y = 1.20 m → c ≈ 3.431 m/s (vedi sopra).

Froude e onde:

• Se Fr < 1 (subcritico) onda si propaga sia a monte che a valle.

• Se Fr > 1 (supercritico) onda non si propaga a monte.

Onde di piena: coinvolgono fronti con variazione rapida di portata o colpi d'acqua; studio tramite equazioni di Shallow Water (Saint-Venant).

9. PROFONDITÀ CRITICA (caso rettangolare)
   Condizione critica: Fr = 1. Per rettangolare, usando Q costante:
   Q^2 / g = b^2 · y_c^3 → y_c = [ Q^2 / (g · b^2) ]^(1/3)

Esempio (usando Q e b dell'esempio 1):
Q ≈ 5.7956 m^3/s, b = 3.00 m
Q^2 = 5.7956^2 ≈ 33.598
g · b^2 = 9.81 · 9 = 88.29
Q^2/(g b^2) = 33.598 / 88.29 ≈ 0.3805
y_c = (0.3805)^(1/3) ≈ 0.735 m (calcolo: ln(0.3805) = -0.9661; /3 = -0.3220; exp ≈ 0.725–0.735 → arrotondiamo 0.735 m)

Verifica Fr con y = 1.20 m (precedente):
Poiché y > y_c, il flusso è subcritico (Fr < 1), coerente con il calcolo Fr ≈ 0.469.

10. ENERGIA SPECIFICA E SALTI IDRAULICI
    Energia specifica E (per rettangolare):
    E = y + V^2 / (2 g) = y + Q^2 / (2 g A^2)

Esempio (uso dati es. 1):
A = 3.60 m^2, Q ≈ 5.7956
Q^2 = 33.598
2 g = 19.62
Q^2 / (2 g) = 33.598 / 19.62 ≈ 1.712
A^2 = 3.60^2 = 12.96
V^2 / (2 g) = 1.712 / 12.96 ≈ 0.1322
E = y + V^2/(2g) = 1.20 + 0.1322 = 1.3322 m

Energia critica E_c per rettangolare:
E_c = (3/2) · y_c = 1.5 · y_c
Con y_c ≈ 0.735 → E_c ≈ 1.1025 m

Interpretazione: E > E_c e y > y_c → flusso subcritico. Salto idraulico può verificarsi se si passa da supercritico a subcritico, dissipando energia.

11. ONDE DI MAREA E DI PIENA (concetto qualitativo e formula rapida per celerità)

• Onde generate da variazioni dell’altezza media o da eventi meteorici si propagano spesso con c = sqrt(g D) in condizioni di onde lunghe.

• Onde di marea in bacini possono essere studiate nello stesso quadro semplificato delle equazioni di Shallow Water.

12. ESEMPIO 3 — Calcolo del numero di Froude, velocità d’onda e verifica critica
    Usando i risultati dell’ESEMPIO 1:
    V = 1.6099 m/s
    y = 1.20 m
    c = sqrt(g y) ≈ 3.431 m/s
    Fr = V / c ≈ 0.469 (subcritico)
    Intervallo: Flussi subcritici implicano che una perturbazione a valle può propagarsi a monte.

13. ESEMPIO 4 — Energia specifica e salto ipotetico
    Condizioni upstream: y1 = 0.6 m (supercritico per certi Q), Q = 5.7956, b = 3 m.
    Calcolare y2 dopo salto (stima tramite equazioni di conservazione di portata e bilancio energia con perdita di energia).
    Procedura (sintesi):

• Si calcola energia E1 = y1 + Q^2/(2 g A1^2).

• Si trova y2 ≥ y_critical che soddisfa conservazione della quantità Q e dell'energia meno la perdita (per salto perfetto la perdita = E1 − E2).
  In sede sintetica qui mostriamo formula per ricerca y2 numericamente; esercizio avanzato che richiede soluzione delle equazioni non lineari (metodo iterativo).

14. CONTROLLO DIMENSIONALE RAPIDO (esempi)
    Manning: V = (1/n) R^(2/3) S^(1/2)
    Unità R^(2/3) = m^(2/3); (1/n) = m^(1/3)/s → prodotto m/s → corretto.

Chezy: V = C sqrt(R S)
sqrt(R S) m^(1/2); C dimensione m^(1/2)/s → V m/s → corretto.

15. RIEPILOGO PRATICO E CONSIGLI OPERATIVI

• Per canali piccoli e rettangolari usare Manning per stime rapide di Q e V.

• Per ricerca della profondità di moto uniforme usare iterazione / metodo grafico (tabella R^(2/3) vs y).

• Per valutare onde idrauliche e propagazione, utilizzare c = sqrt(g D) e Fr per determinare regimi (sub/supercritico).

• Per stampare profili di corrente (moto vario): risolvere l'equazione della variazione graduali delle acque (differenziale) con metodo numerico (standard step o Runge-Kutta per casi più complessi).

• Controllare sempre le unità e fare il controllo dimensionale delle formule impiegate.